ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 19 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) принимает наибольшее значение дробь:
а) \(\frac{4}{a^2 + 5}\);
б) \(\frac{10}{(a — 3)^2 + 1}\).

а) \(\frac{4}{a^2 + 5}\)
при \(a = 0\) знаменатель минимален, значит дробь максимальна.

б) \(\frac{10}{(a — 3)^2 + 1}\)
при \(a = 3\) знаменатель минимален, значит дробь максимальна.

а) Рассмотрим дробь \(\frac{4}{a^2 + 5}\). Для того чтобы найти значение \(a\), при котором дробь достигает максимума, нужно понять, как влияет значение \(a\) на знаменатель. Знаменатель — это выражение \(a^2 + 5\), где \(a^2\) — квадрат числа \(a\), а 5 — постоянное положительное число. Поскольку квадрат любого числа неотрицателен, минимальное значение \(a^2\) равно 0, и достигается оно при \(a = 0\). Тогда знаменатель будет равен \(0^2 + 5 = 5\).

При увеличении или уменьшении \(a\) от нуля квадрат \(a^2\) растёт, знаменатель становится больше, а дробь, наоборот, уменьшается, так как числитель фиксирован и равен 4. Следовательно, дробь максимальна при минимальном знаменателе. Значит, при \(a = 0\) дробь принимает наибольшее значение, равное \(\frac{4}{5}\).

б) Рассмотрим дробь \(\frac{10}{(a — 3)^2 + 1}\). Аналогично предыдущему случаю, чтобы дробь была максимальной, нужно минимизировать знаменатель \((a — 3)^2 + 1\). Квадрат выражения \((a — 3)^2\) неотрицателен и достигает минимального значения 0, когда \(a = 3\). Тогда знаменатель равен \(0 + 1 = 1\).

При любом другом значении \(a\) квадрат \((a — 3)^2\) положителен, знаменатель увеличивается, и дробь становится меньше. Следовательно, максимальное значение дроби достигается при \(a = 3\), и это значение равно \(\frac{10}{1} = 10\). Таким образом, анализируя вид знаменателя и свойства квадрата, мы определили точку максимума для дроби.