Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 191 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
а) \( \frac{k}{x} = x^2 \), где \( k > 0 \);
б) \( \frac{k}{x} = x^2 \), где \( k < 0 \);
в) \( \frac{k}{x} = x^3 \), где \( k > 0 \);
г) \( \frac{k}{x} = x^3 \), где \( k < 0 \). 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций \( y = \frac{k}{x} \).
3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.
а) \(\frac{k}{x} = x^2, \quad k > 0 \Rightarrow k = x^3\).
Функция \(y = \frac{k}{x}\) (синий график) и \(y = x^2\) (красный график) пересекаются в одной точке.
Ответ: одно решение.
б) \(\frac{k}{x} = x^2, \quad k < 0 \Rightarrow k = x^3\).
Функции пересекаются также в одной точке.
Ответ: одно решение.
в) \(\frac{k}{x} = x^3, \quad k > 0 \Rightarrow k = x^4\).
Функция \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) пересекаются в двух точках.
Ответ: два решения.
г) \(\frac{k}{x} = x^3, \quad k < 0 \Rightarrow k = x^4\).
Функции не пересекаются.
Ответ: решений нет.
а) Рассмотрим уравнение \(\frac{k}{x} = x^2\) при условии \(k > 0\). Перепишем его в виде \(k = x^3\). Поскольку \(k\) — положительное число, то и \(x^3\) тоже должно быть положительным, следовательно, \(x > 0\). График функции \(y = \frac{k}{x}\) (гипербола) и график \(y = x^2\) (парабола) пересекаются в точке, где значения равны. При \(k > 0\) обе функции пересекаются в одной точке на положительной оси \(x\), так как \(x^3 = k\) имеет единственное положительное решение.
Графически это подтверждается тем, что кривая \(y = \frac{k}{x}\) при \(k > 0\) располагается в первой и третьей четвертях, а \(y = x^2\) — в первой и второй. Пересечение происходит в первой четверти, где \(x > 0\). Вторая четверть не подходит, так как \(x < 0\) и \(x^3 < 0\), а \(k > 0\). Таким образом, уравнение имеет ровно одно решение.
б) При \(k < 0\) уравнение \(\frac{k}{x} = x^2\) переписывается как \(k = x^3\), где \(k\) отрицательно. Значит, \(x^3 < 0\), следовательно, \(x < 0\). График \(y = \frac{k}{x}\) при \(k < 0\) расположен во второй и четвертой четвертях, а \(y = x^2\) — в первой и второй. Пересечение возможно только в области, где обе функции имеют одинаковые знаки. При отрицательном \(x\) уравнение \(x^3 = k\) имеет единственное отрицательное решение. Графики пересекаются в одной точке в области \(x < 0\), что также подтверждает наличие одного решения.
в) Рассмотрим уравнение \(\frac{k}{x} = x^3\) при \(k > 0\). Перепишем его как \(k = x^4\). Поскольку \(k > 0\), то \(x^4 = k > 0\) для любого \(x \neq 0\). Уравнение \(x^4 = k\) имеет два действительных корня: \(x = \sqrt[4]{k}\) и \(x = -\sqrt[4]{k}\). Таким образом, графики функций \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) пересекаются в двух точках.
Графически видно, что гипербола \(y = \frac{k}{x}\) при \(k > 0\) расположена в первой и третьей четвертях, а кубическая функция \(y = x^3\) проходит через начало координат и меняет знак. Пересечения происходят в положительной и отрицательной части оси \(x\), что соответствует двум решениям уравнения.
г) При \(k < 0\) уравнение \(\frac{k}{x} = x^3\) переписывается как \(k = x^4\) с отрицательным \(k\). Но \(x^4 \geq 0\) для всех \(x\), следовательно, уравнение \(x^4 = k\) не может иметь решений при \(k < 0\). Это означает, что графики функций \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) не пересекаются.
Графически гипербола \(y = \frac{k}{x}\) при отрицательном \(k\) расположена во второй и четвертой четвертях, а \(y = x^3\) — проходит через начало координат и меняет знак. Поскольку уравнение \(x^4 = k\) не имеет решений при \(k < 0\), пересечений графиков нет, и решений уравнения нет. Ответ: \(\emptyset\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!