ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 191 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Используя графические представления, выясните, сколько решений имеет уравнение:
а) \( \frac{k}{x} = x^2 \), где \( k > 0 \);
б) \( \frac{k}{x} = x^2 \), где \( k < 0 \); в) \( \frac{k}{x} = x^3 \), где \( k > 0 \);
г) \( \frac{k}{x} = x^3 \), где \( k < 0 \). 1) Распределите, кто выполняет задания а) и г), а кто — задания б) и в), и выполните их. 2) Проверьте друг у друга, верно ли построены графики функций \( y = \frac{k}{x} \). 3) Обсудите правильность сделанных выводов о числе решений уравнения.

а) \(\frac{k}{x} = x^2, \quad k > 0 \Rightarrow k = x^3\).
Функция \(y = \frac{k}{x}\) (синий график) и \(y = x^2\) (красный график) пересекаются в одной точке.
Ответ: одно решение.

б) \(\frac{k}{x} = x^2, \quad k < 0 \Rightarrow k = x^3\).
Функции пересекаются также в одной точке.
Ответ: одно решение.

в) \(\frac{k}{x} = x^3, \quad k > 0 \Rightarrow k = x^4\).
Функция \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) пересекаются в двух точках.
Ответ: два решения.

г) \(\frac{k}{x} = x^3, \quad k < 0 \Rightarrow k = x^4\).
Функции не пересекаются.
Ответ: решений нет.

а) Рассмотрим уравнение \(\frac{k}{x} = x^2\) при условии \(k > 0\). Перепишем его в виде \(k = x^3\). Поскольку \(k\) — положительное число, то и \(x^3\) тоже должно быть положительным, следовательно, \(x > 0\). График функции \(y = \frac{k}{x}\) (гипербола) и график \(y = x^2\) (парабола) пересекаются в точке, где значения равны. При \(k > 0\) обе функции пересекаются в одной точке на положительной оси \(x\), так как \(x^3 = k\) имеет единственное положительное решение.

Графически это подтверждается тем, что кривая \(y = \frac{k}{x}\) при \(k > 0\) располагается в первой и третьей четвертях, а \(y = x^2\) — в первой и второй. Пересечение происходит в первой четверти, где \(x > 0\). Вторая четверть не подходит, так как \(x < 0\) и \(x^3 < 0\), а \(k > 0\). Таким образом, уравнение имеет ровно одно решение.

б) При \(k < 0\) уравнение \(\frac{k}{x} = x^2\) переписывается как \(k = x^3\), где \(k\) отрицательно. Значит, \(x^3 < 0\), следовательно, \(x < 0\). График \(y = \frac{k}{x}\) при \(k < 0\) расположен во второй и четвертой четвертях, а \(y = x^2\) — в первой и второй. Пересечение возможно только в области, где обе функции имеют одинаковые знаки. При отрицательном \(x\) уравнение \(x^3 = k\) имеет единственное отрицательное решение. Графики пересекаются в одной точке в области \(x < 0\), что также подтверждает наличие одного решения.

в) Рассмотрим уравнение \(\frac{k}{x} = x^3\) при \(k > 0\). Перепишем его как \(k = x^4\). Поскольку \(k > 0\), то \(x^4 = k > 0\) для любого \(x \neq 0\). Уравнение \(x^4 = k\) имеет два действительных корня: \(x = \sqrt[4]{k}\) и \(x = -\sqrt[4]{k}\). Таким образом, графики функций \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) пересекаются в двух точках.

Графически видно, что гипербола \(y = \frac{k}{x}\) при \(k > 0\) расположена в первой и третьей четвертях, а кубическая функция \(y = x^3\) проходит через начало координат и меняет знак. Пересечения происходят в положительной и отрицательной части оси \(x\), что соответствует двум решениям уравнения.

г) При \(k < 0\) уравнение \(\frac{k}{x} = x^3\) переписывается как \(k = x^4\) с отрицательным \(k\). Но \(x^4 \geq 0\) для всех \(x\), следовательно, уравнение \(x^4 = k\) не может иметь решений при \(k < 0\). Это означает, что графики функций \(y = \frac{k}{x}\) и \(y = x^3\) не пересекаются.

Графически гипербола \(y = \frac{k}{x}\) при отрицательном \(k\) расположена во второй и четвертой четвертях, а \(y = x^3\) — проходит через начало координат и меняет знак. Поскольку уравнение \(x^4 = k\) не имеет решений при \(k < 0\), пересечений графиков нет, и решений уравнения нет. Ответ: \(\emptyset\).