ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 192 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания \(a\) см и \(b\) см и высотой 20 см имеет объём, равный 120 см\(^3\). Выразите формулой зависимость \(b\) от \(a\). Является ли эта зависимость обратной пропорциональностью? Какова область определения этой функции? Постройте график.

Выразим формулой зависимость:
\(V = abc\)

\(b = \frac{120}{20a} = \frac{6}{a}\) см – является обратной пропорциональностью.

Область определения функции \(a \neq 0\), значит, \(a \in (0; +\infty)\).

\(b = \frac{6}{a}\)

Выразим формулой зависимость объема \(V\) от трех переменных \(a\), \(b\) и \(c\), записав ее как произведение: \(V = abc\). Здесь \(a\), \(b\), и \(c\) — длины сторон прямоугольного параллелепипеда, а \(V\) — его объем. Для поиска зависимости \(b\) от \(a\) и \(c\) используем заданное значение объема \(V = 120\) и условие, что \(c = 20\). Подставляя эти значения в формулу, получаем уравнение \(120 = a \cdot b \cdot 20\). Далее решаем его относительно \(b\), выразив \(b = \frac{120}{20a} = \frac{6}{a}\). Таким образом, переменная \(b\) обратно пропорциональна \(a\), поскольку при увеличении \(a\) значение \(b\) уменьшается, и наоборот.

Обратная пропорциональность выражается функцией \(b = \frac{6}{a}\), где \(6\) — постоянный коэффициент, определяющий величину произведения \(a \cdot b\). График этой функции представляет собой гиперболу, что отражено на изображении. При этом область определения функции ограничена тем, что \(a\) не может равняться нулю, так как в знаменателе стоит \(a\), и деление на ноль невозможно. Следовательно, область определения функции — все положительные числа, то есть \(a \in (0; +\infty)\). Это означает, что \(a\) может принимать любые положительные значения, но не равняться нулю.

Данная зависимость иллюстрирует обратную пропорциональность между двумя переменными: если \(a\) стремится к нулю, то \(b\) стремится к бесконечности, а при увеличении \(a\) \(b\) стремится к нулю. Эта взаимосвязь важна для понимания поведения системы, где произведение двух величин постоянно. В нашем случае, при фиксированном объеме и одной из сторон, изменение одной переменной вызывает обратное изменение другой, что позволяет контролировать размеры фигуры при заданном объеме. Таким образом, формула и график наглядно показывают, как связаны стороны параллелепипеда при постоянном объеме.