Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 198 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:
а) \(\frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2}\);
б) \(\frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2}\).
а) \( \frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2} = \frac{5(x — y)^2}{9(y — x)^2} = \frac{5}{9} \) – не зависит от значения переменной.
б) \( \frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2} = \frac{9(x — 2y)^2}{4(2y — x)^2} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \) – не зависит от значения переменной.
а) Рассмотрим выражение \( \frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2} \). В числителе у нас стоит выражение \(5(x — y)^2\), а в знаменателе – квадрат разности \(3y — 3x\). Заметим, что \(3y — 3x = 3(y — x)\), то есть можно вынести множитель 3 за скобки. Тогда знаменатель перепишется как \( (3(y — x))^2 = 3^2 (y — x)^2 = 9(y — x)^2 \). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5(x — y)^2}{9(y — x)^2} \).
Далее обратим внимание на выражения в степенях: \( (x — y)^2 \) и \( (y — x)^2 \). Поскольку квадрат любого отрицательного числа равен квадрату положительного, то \( (x — y)^2 = (y — x)^2 \). Это значит, что \( (x — y)^2 \) и \( (y — x)^2 \) взаимно сокращаются, и в результате остаётся дробь \( \frac{5}{9} \). Таким образом, значение выражения не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\), так как переменные полностью сократились.
В итоге получаем, что исходное выражение равно \( \frac{5}{9} \) при любых допустимых значениях \(x\) и \(y\), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Следовательно, ответ: \( \frac{5}{9} \) — не зависит от значения переменной.
б) Рассмотрим выражение \( \frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2} \). В числителе у нас квадрат выражения \(3x — 6y\), а в знаменателе – произведение 4 на квадрат выражения \(2y — x\). Сначала упростим числитель: вынесем общий множитель 3, тогда \(3x — 6y = 3(x — 2y)\). Следовательно, числитель становится \( (3(x — 2y))^2 = 3^2 (x — 2y)^2 = 9(x — 2y)^2 \).
Знаменатель остаётся без изменений: \(4(2y — x)^2\). Теперь дробь выглядит как \( \frac{9(x — 2y)^2}{4(2y — x)^2} \). Обратим внимание на выражения в степенях: \( (x — 2y)^2 \) и \( (2y — x)^2 \). Поскольку \( (a — b)^2 = (b — a)^2 \), то \( (x — 2y)^2 = (2y — x)^2 \). Это позволяет сократить эти квадраты, и дробь упрощается до \( \frac{9}{4} \).
Дробь \( \frac{9}{4} \) можно записать как смешанное число \( 2 \frac{1}{4} \). Значит, исходное выражение равно \( 2 \frac{1}{4} \) и не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\), так как переменные полностью сократились. Итог: выражение равно \( 2 \frac{1}{4} \) — не зависит от значения переменной.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!