ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 198 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение дроби не зависит от значений этих переменных:
а) \(\frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2}\);
б) \(\frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2}\).

а) \( \frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2} = \frac{5(x — y)^2}{9(y — x)^2} = \frac{5}{9} \) – не зависит от значения переменной.

б) \( \frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2} = \frac{9(x — 2y)^2}{4(2y — x)^2} = \frac{9}{4} = 2 \frac{1}{4} \) – не зависит от значения переменной.

а) Рассмотрим выражение \( \frac{5(x — y)^2}{(3y — 3x)^2} \). В числителе у нас стоит выражение \(5(x — y)^2\), а в знаменателе – квадрат разности \(3y — 3x\). Заметим, что \(3y — 3x = 3(y — x)\), то есть можно вынести множитель 3 за скобки. Тогда знаменатель перепишется как \( (3(y — x))^2 = 3^2 (y — x)^2 = 9(y — x)^2 \). Теперь дробь принимает вид \( \frac{5(x — y)^2}{9(y — x)^2} \).

Далее обратим внимание на выражения в степенях: \( (x — y)^2 \) и \( (y — x)^2 \). Поскольку квадрат любого отрицательного числа равен квадрату положительного, то \( (x — y)^2 = (y — x)^2 \). Это значит, что \( (x — y)^2 \) и \( (y — x)^2 \) взаимно сокращаются, и в результате остаётся дробь \( \frac{5}{9} \). Таким образом, значение выражения не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\), так как переменные полностью сократились.

В итоге получаем, что исходное выражение равно \( \frac{5}{9} \) при любых допустимых значениях \(x\) и \(y\), кроме тех, при которых знаменатель равен нулю. Следовательно, ответ: \( \frac{5}{9} \) — не зависит от значения переменной.

б) Рассмотрим выражение \( \frac{(3x — 6y)^2}{4(2y — x)^2} \). В числителе у нас квадрат выражения \(3x — 6y\), а в знаменателе – произведение 4 на квадрат выражения \(2y — x\). Сначала упростим числитель: вынесем общий множитель 3, тогда \(3x — 6y = 3(x — 2y)\). Следовательно, числитель становится \( (3(x — 2y))^2 = 3^2 (x — 2y)^2 = 9(x — 2y)^2 \).

Знаменатель остаётся без изменений: \(4(2y — x)^2\). Теперь дробь выглядит как \( \frac{9(x — 2y)^2}{4(2y — x)^2} \). Обратим внимание на выражения в степенях: \( (x — 2y)^2 \) и \( (2y — x)^2 \). Поскольку \( (a — b)^2 = (b — a)^2 \), то \( (x — 2y)^2 = (2y — x)^2 \). Это позволяет сократить эти квадраты, и дробь упрощается до \( \frac{9}{4} \).

Дробь \( \frac{9}{4} \) можно записать как смешанное число \( 2 \frac{1}{4} \). Значит, исходное выражение равно \( 2 \frac{1}{4} \) и не зависит от значений переменных \(x\) и \(y\), так как переменные полностью сократились. Итог: выражение равно \( 2 \frac{1}{4} \) — не зависит от значения переменной.