ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 199 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Задача-исследование.) При каких значениях \(a\) и \(b\) является тождеством равенство
\[
\frac{5x + 31}{(x — 5)(x + 2)} = \frac{a}{x — 5} + \frac{b}{x + 2}?
\]
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить и каким условием воспользоваться, чтобы ответить на вопрос задачи.
2) Выполните необходимые преобразования, составьте систему уравнений и решите её.
3) Ответьте на вопрос задачи и проверьте полученный ответ.

\( \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} \)

\( \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} \)

\( \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{ax + 2a + bx — 5b}{(x-5)(x+2)} \)

\( \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{x(a + b) + (2a — 5b)}{(x-5)(x+2)} \)

\( 5x + 31 = x(a + b) + (2a — 5b) \)

\(\begin{cases}
a + b = 5 \\
2a — 5b = 31
\end{cases} \Rightarrow \begin{cases}
a = 5 — b \\
2(5 — b) — 5b = 31
\end{cases}\)

\( 10 — 2b — 5b = 31 \Rightarrow 7b = -21 \Rightarrow b = -3 \)

\( a = 5 — (-3) = 8 \)

Ответ: \( a = 8, b = -3 \).

Рассмотрим равенство дроби \( \frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} \) и суммы двух дробей с неизвестными числителями \( \frac{a}{x-5} + \frac{b}{x+2} \). Чтобы привести правую часть к общему знаменателю, умножаем каждую дробь на недостающий множитель: первая — на \( x+2 \), вторая — на \( x-5 \). Получаем выражение \( \frac{a(x+2) + b(x-5)}{(x-5)(x+2)} \). Так как знаменатели равны, равенство дробей означает равенство числителей: \( 5x + 31 = a(x+2) + b(x-5) \).

Раскроем скобки в правой части: \( a(x+2) = ax + 2a \), \( b(x-5) = bx — 5b \). Сложим полученные выражения: \( ax + 2a + bx — 5b \). Перегруппируем слагаемые по переменным: \( (a + b)x + (2a — 5b) \). Теперь уравнение принимает вид \( 5x + 31 = (a + b)x + (2a — 5b) \). Поскольку это тождество справедливо для всех \( x \), коэффициенты при одинаковых степенях \( x \) должны быть равны, а также свободные члены. Значит, составляем систему уравнений: \( a + b = 5 \) и \( 2a — 5b = 31 \).

Решая систему, выразим \( a \) через \( b \): \( a = 5 — b \). Подставим это в уравнение для свободных членов: \( 2(5 — b) — 5b = 31 \). Раскроем скобки: \( 10 — 2b — 5b = 31 \), что упрощается до \( 10 — 7b = 31 \). Переносим 10 вправо: \( -7b = 31 — 10 = 21 \), значит \( b = -3 \). Подставляем обратно в выражение для \( a \): \( a = 5 — (-3) = 8 \). Таким образом, получили значения \( a = 8 \) и \( b = -3 \), которые удовлетворяют исходному уравнению.