ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 20 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(b\) принимает наименьшее значение дробь:
а) \(\frac{b^2 + 7}{21}\);
б) \(\frac{(b — 2)^2 + 16}{8}\).

а) \(\frac{b^2 + 7}{21}\)

При \(b = 0\) числитель минимален, значит дробь принимает наименьшее значение.

б) \(\frac{(b — 2)^2 + 16}{8}\)

При \(b = 2\) числитель минимален, значит дробь принимает наименьшее значение.

а) Рассмотрим дробь \(\frac{b^2 + 7}{21}\). Чтобы найти наименьшее значение дроби, нужно минимизировать числитель, так как знаменатель постоянен и равен 21. Числитель — это выражение \(b^2 + 7\), где \(b^2\) — квадрат числа \(b\), который всегда неотрицателен. Минимальное значение квадрата достигается при \(b = 0\), потому что \(0^2 = 0\). Следовательно, при \(b = 0\) числитель принимает минимальное значение \(0 + 7 = 7\).

Подставляя это значение в дробь, получаем \(\frac{7}{21} = \frac{1}{3}\). Таким образом, при \(b = 0\) дробь минимальна и равна \(\frac{1}{3}\). Для любых других значений \(b\), кроме нуля, \(b^2\) будет положительным числом, и числитель станет больше, что увеличит значение всей дроби.

б) Рассмотрим дробь \(\frac{(b — 2)^2 + 16}{8}\). Для поиска минимального значения дроби нужно минимизировать числитель, так как знаменатель равен постоянному числу 8. Числитель состоит из суммы двух слагаемых: квадрата разности \((b — 2)^2\) и числа 16. Квадрат любого числа неотрицателен, и минимальное значение он принимает при \(b — 2 = 0\), то есть при \(b = 2\).

При \(b = 2\) числитель принимает минимальное значение \(0 + 16 = 16\). Подставляя это в дробь, получаем \(\frac{16}{8} = 2\). Значит, при \(b = 2\) дробь принимает наименьшее значение. Если \(b\) отличается от 2, то квадрат \((b — 2)^2\) положителен, числитель увеличивается, и значение дроби становится больше.

Таким образом, минимальное значение дроби достигается при \(b = 2\), так как это точка, в которой квадрат разности равен нулю и числитель минимален.