ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 200 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение
\[
\left(\frac{3}{x + 2} — \frac{1}{x — 2} — \frac{12}{4 — x^2}\right) : \frac{x + 7}{x — 2}.
\]

\(\left(\frac{3}{x+2} — \frac{1}{x-2} — \frac{12}{4-x^2}\right) : \frac{x+7}{x-2} =\)
\(= \left(\frac{3}{x+2} — \frac{1}{x-2} + \frac{12}{(x-2)(x+2)}\right) : \frac{x+7}{x-2} =\)
\(= \frac{3(x-2) — (x+2) + 12}{(x-2)(x+2)} : \frac{x+7}{x-2} =\)
\(= \frac{3x — 6 — x — 2 + 12}{(x-2)(x+2)} : \frac{x+7}{x-2} =\)
\(= \frac{2x + 4}{(x-2)(x+2)} : \frac{x+7}{x-2} =\)
\(= \frac{2x + 4}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{x+7} =\)
\(= \frac{2(x+2) \cdot (x-2)}{(x-2)(x+2) \cdot (x+7)} = \frac{2}{x+7}\)

\(\left( \frac{3}{x+2} — \frac{1}{x-2} — \frac{12}{4-x^2} \right) : \frac{x+7}{x-2} =\)

Сначала обратим внимание, что выражение содержит три дроби в скобках, которые нужно сложить и вычесть. Заметим, что \(4 — x^2\) можно разложить как разность квадратов: \(4 — x^2 = (2 — x)(2 + x)\). Поскольку \(2 — x = -(x — 2)\), удобнее переписать знаменатель как \(-(x — 2)(x + 2)\), но для упрощения оставим в виде \((x-2)(x+2)\) с учётом знака. Тогда дробь \(\frac{12}{4 — x^2}\) перепишется как \(\frac{12}{(x-2)(x+2)}\) с учётом знака минус во внешнем выражении.

Для сложения дробей приведём все к общему знаменателю \((x-2)(x+2)\). Первая дробь \(\frac{3}{x+2}\) домножается на \(\frac{x-2}{x-2}\), вторая \(\frac{1}{x-2}\) — на \(\frac{x+2}{x+2}\), третья уже с общим знаменателем. Получаем:

\(\frac{3(x-2)}{(x-2)(x+2)} — \frac{1(x+2)}{(x-2)(x+2)} — \frac{12}{(x-2)(x+2)}\).

Теперь объединим числители:

\(3(x-2) — (x+2) — 12 = 3x — 6 — x — 2 — 12 = 2x — 20\).

Таким образом, скобки равны \(\frac{2x — 20}{(x-2)(x+2)}\).

Далее выполняем деление на \(\frac{x+7}{x-2}\), что эквивалентно умножению на обратную дробь \(\frac{x-2}{x+7}\). Получаем:

\(\frac{2x — 20}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{x-2}{x+7}\).

Сократим общий множитель \(x-2\) в числителе и знаменателе:

\(\frac{2(x — 10)}{x + 2} \cdot \frac{1}{x + 7} = \frac{2(x — 10)}{(x + 2)(x + 7)}\).

Это и есть окончательный результат.

\(\Rightarrow \frac{2(x — 10)}{(x + 2)(x + 7)}\).