ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 201 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких значениях \(a\) и \(b\) равенство

\(\frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2}\)

является тождеством?

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} \)

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} \)

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{ax — 2a + bx — b}{(x-1)(x-2)} \)

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{x(a+b) + (-2a — b)}{(x-1)(x-2)} \)

\( 6x = x(a+b) + (-2a — b) \)

\(\begin{cases}
a + b = 6 \\
-2a — b = 0
\end{cases}\)

\( a = 6 — b \)

\(\begin{cases}
a = 6 — b \\
-2(6 — b) — b = 0
\end{cases}\)

\(\begin{cases}
a = 6 — b \\
-12 + 2b — b = 0
\end{cases}\)

\(\begin{cases}
a = 6 — 12 \\
b = 12
\end{cases}\)

\( a = -6 \), \( b = 12 \)

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a}{x-1} + \frac{b}{x-2} \)

Для начала приведём правую часть к общему знаменателю, чтобы сравнить числители. Общий знаменатель уже задан — это произведение \((x-1)(x-2)\). Тогда правая часть равна \(\frac{a(x-2)}{(x-1)(x-2)} + \frac{b(x-1)}{(x-1)(x-2)}\), что можно записать как \(\frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)}\). Теперь уравнение принимает вид

\( \frac{6x}{(x-1)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x-1)}{(x-1)(x-2)} \).

Так как знаменатели равны и не равны нулю при \(x \neq 1\) и \(x \neq 2\), равенство дробей означает равенство числителей:

\( 6x = a(x-2) + b(x-1) \).

Раскроем скобки в правой части: \(a(x-2) = ax — 2a\), \(b(x-1) = bx — b\). Тогда

\( 6x = ax — 2a + bx — b = (a+b)x + (-2a — b) \).

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) слева и справа. Слева при \(x\) стоит 6, справа — \(a+b\), свободный член слева отсутствует, справа — \(-2a — b\). Получаем систему уравнений:

\(\begin{cases}
a + b = 6 \\
-2a — b = 0
\end{cases}\).

Выразим \(a\) из первого уравнения: \(a = 6 — b\). Подставим в второе:

\(-2(6 — b) — b = 0\).

Раскроем скобки:

\(-12 + 2b — b = 0\),

что упрощается до

\(-12 + b = 0\),

откуда \(b = 12\).

Теперь подставим найденное \(b\) в выражение для \(a\):

\(a = 6 — 12 = -6\).

Ответ: \(a = -6\), \(b = 12\).