ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 202 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте дробь \(\frac{5x-1}{(x+4)(x-2)}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x + 4\) и \(x — 2\).

\( \frac{5x — 1}{(x+4)(x-2)} = \frac{a}{x+4} + \frac{b}{x-2} \)

\( \frac{5x — 1}{(x+4)(x-2)} = \frac{a(x-2) + b(x+4)}{(x+4)(x-2)} \)

\( \frac{5x — 1}{(x+4)(x-2)} = \frac{ax — 2a + bx + 4b}{(x+4)(x-2)} \)

\( 5x — 1 = x(a + b) + (4b — 2a) \)

\(\begin{cases} a + b = 5 \\ 4b — 2a = -1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 5 — b \\ 4b — 2(5 — b) = -1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 5 — b \\ 4b — 10 + 2b = -1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} a = 5 — b \\ 6b = 9 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 1,5 \\ a = 5 — 1,5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} b = 1,5 \\ a = 3,5 \end{cases}\)

\( \frac{5x — 1}{(x+4)(x-2)} = \frac{3,5}{x+4} + \frac{1,5}{x-2} \)

\( \frac{5x — 1}{(x + 4)(x — 2)} = \frac{a}{x + 4} + \frac{b}{x — 2} \)

Для начала мы представляем исходную дробь в виде суммы двух дробей с неизвестными коэффициентами \(a\) и \(b\), знаменатели которых — простые линейные выражения \(x + 4\) и \(x — 2\). Это стандартный приём разложения рациональной функции на простейшие дроби, который упрощает работу с выражением и позволяет найти значения \(a\) и \(b\), приравняв числители.

Умножаем обе части равенства на общий знаменатель \((x + 4)(x — 2)\), чтобы избавиться от дробей. Получаем равенство числителей: \(5x — 1 = a(x — 2) + b(x + 4)\). Раскрываем скобки справа: \(a(x — 2) + b(x + 4) = ax — 2a + bx + 4b\). Группируем по степеням \(x\): \(ax + bx = x(a + b)\), а свободные члены \( — 2a + 4b \) оставляем как есть. Итоговое выражение: \(5x — 1 = x(a + b) + (4b — 2a)\).

Теперь приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) с обеих сторон уравнения. При \(x\) слева стоит 5, значит \(a + b = 5\). Свободный член слева \(-1\), значит \(4b — 2a = -1\). Получаем систему уравнений:

\(\begin{cases} a + b = 5 \\ 4b — 2a = -1 \end{cases}\)

Выразим \(a\) из первого уравнения: \(a = 5 — b\). Подставим это во второе уравнение:

\(4b — 2(5 — b) = -1\)

Раскроем скобки: \(4b — 10 + 2b = -1\), что даёт \(6b — 10 = -1\). Переносим \(-10\) вправо: \(6b = 9\), значит \(b = 1,5\).

Подставляем найденное значение \(b\) обратно в выражение для \(a\):

\(a = 5 — 1,5 = 3,5\).

Таким образом, мы нашли коэффициенты \(a = 3,5\) и \(b = 1,5\). Подставляем их обратно в исходное разложение:

\( \frac{5x — 1}{(x + 4)(x — 2)} = \frac{3,5}{x + 4} + \frac{1,5}{x — 2} \).