ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 203 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте дробь \(\frac{4x+3}{x^2-1}\) в виде суммы двух дробей со знаменателями \(x — 1\) и \(x + 1\).

\(\frac{4x + 3}{x^2 — 1} = \frac{a}{x — 1} + \frac{b}{x + 1}\)

\(\frac{4x + 3}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{a(x + 1) + b(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)}\)

\(4x + 3 = ax + a + bx — b\)

\(4x + 3 = x(a + b) + (a — b)\)

\(\begin{cases} a + b = 4 \\ a — b = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2a = 7 \\ a — b = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3,5 \\ b = 3,5 — 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a = 3,5 \\ b = 0,5 \end{cases}\)

\(\frac{4x + 3}{x^2 — 1} = \frac{3,5}{x — 1} + \frac{0,5}{x + 1}\)

Рассмотрим выражение \(\frac{4x + 3}{x^2 — 1}\). Мы видим, что знаменатель можно разложить на множители по формуле разности квадратов: \(x^2 — 1 = (x — 1)(x + 1)\). Для упрощения и дальнейшего решения задачи представим дробь в виде суммы двух простых дробей с неизвестными коэффициентами \(a\) и \(b\): \(\frac{a}{x — 1} + \frac{b}{x + 1}\). Это классический метод разложения на простые дроби, который позволяет упростить работу с рациональными выражениями.

Далее приравниваем исходное выражение к сумме простых дробей, приводя их к общему знаменателю \((x — 1)(x + 1)\). Получаем равенство: \(\frac{4x + 3}{(x — 1)(x + 1)} = \frac{a(x + 1) + b(x — 1)}{(x — 1)(x + 1)}\). Поскольку знаменатели равны, приравниваем числители: \(4x + 3 = a(x + 1) + b(x — 1)\). Раскроем скобки: \(4x + 3 = ax + a + bx — b\). Группируем члены по переменной \(x\) и свободным членам: \(4x + 3 = x(a + b) + (a — b)\).

Для нахождения коэффициентов \(a\) и \(b\) приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной \(x\) с обеих сторон уравнения. Коэффициент при \(x\) слева равен 4, справа — \(a + b\), значит \(a + b = 4\). Свободный член слева равен 3, справа — \(a — b\), значит \(a — b = 3\). Таким образом, получаем систему уравнений: \(\begin{cases} a + b = 4 \\ a — b = 3 \end{cases}\).

Решаем систему уравнений. Складывая обе части системы, получаем \(2a = 7\), откуда \(a = 3,5\). Подставляем значение \(a\) во второе уравнение: \(3,5 — b = 3\), откуда \(b = 0,5\). Полученные значения подставляем обратно в исходное разложение: \(\frac{4x + 3}{x^2 — 1} = \frac{3,5}{x — 1} + \frac{0,5}{x + 1}\). Такое разложение упрощает работу с исходной дробью, позволяя использовать методы интегрирования или другие операции с рациональными выражениями.