ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 204 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выясните, при каких целых \(a\) дробь \(\frac{2}{a-2} — \frac{4a+1}{a-2}\) принимает целые значения, и найдите эти значения.

\( \frac{a^2 — 4a + 1}{a — 2} = \frac{a^2 — 4a + 4 — 3}{a — 2} = \frac{(a — 2)^2 — 3}{a — 2} = \frac{(a — 2)^2}{a — 2} — \frac{3}{a — 2} = a — 2 — \frac{3}{a — 2}. \)

Так как \(a\) должно быть целым и дробь должна принимать целые значения, то дробь \(\frac{3}{a — 2}\) должна быть целым числом, а это возможно только если \(a — 2 = \pm 1\) или \(\pm 3\).

\(a — 2 = -1, \quad a — 2 = 1, \quad a — 2 = -3, \quad a — 2 = 3\)

\(a = 1, \quad a = 3, \quad a = -1, \quad a = 5.\)

при \(a = -1:\)
\(\frac{(-1)^2 — 4 \cdot (-1) + 1}{-1 — 2} = \frac{1 + 4 + 1}{-3} = \frac{6}{-3} = -2.\)

при \(a = 1:\)
\(\frac{1^2 — 4 \cdot 1 + 1}{1 — 2} = \frac{1 — 4 + 1}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2.\)

при \(a = 3:\)
\(\frac{3^2 — 4 \cdot 3 + 1}{3 — 2} = \frac{9 — 12 + 1}{1} = \frac{-2}{1} = -2.\)

при \(a = 5:\)
\(\frac{5^2 — 4 \cdot 5 + 1}{5 — 2} = \frac{25 — 20 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2.\)

\( \frac{a^2 — 4a + 1}{a — 2} = \frac{a^2 — 4a + 4 — 3}{a — 2} \). Здесь мы видим, что числитель можно представить в виде разности квадратов, где \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\). Это позволяет упростить выражение, выделив полный квадрат и оставшийся член. Таким образом, дробь переписывается как \( \frac{(a — 2)^2 — 3}{a — 2} \).

Далее дробь раскладывается на два слагаемых: \( \frac{(a — 2)^2}{a — 2} — \frac{3}{a — 2} \). Первое слагаемое упрощается до \(a — 2\), так как степень в числителе на единицу больше, чем в знаменателе. Второе слагаемое остаётся в виде дроби. В итоге получаем выражение \(a — 2 — \frac{3}{a — 2}\), которое будет основой для дальнейшего анализа.

Для того чтобы значение всей дроби было целым числом, необходимо, чтобы дробь \( \frac{3}{a — 2} \) тоже была целым числом. Это возможно только в случае, если знаменатель \(a — 2\) является делителем числа 3. Целыми делителями числа 3 являются \( \pm 1 \) и \( \pm 3 \). Отсюда получаем уравнения: \(a — 2 = \pm 1\) и \(a — 2 = \pm 3\), что даёт четыре возможных значения \(a\): \(1, 3, -1, 5\).

При \(a = -1\) подставляем в исходную дробь: \( \frac{(-1)^2 — 4 \cdot (-1) + 1}{-1 — 2} = \frac{1 + 4 + 1}{-3} = \frac{6}{-3} = -2 \). Значение дроби целое, равное \(-2\).

При \(a = 1\) вычисляем: \( \frac{1^2 — 4 \cdot 1 + 1}{1 — 2} = \frac{1 — 4 + 1}{-1} = \frac{-2}{-1} = 2 \). Опять получаем целое число.

При \(a = 3\) получаем: \( \frac{3^2 — 4 \cdot 3 + 1}{3 — 2} = \frac{9 — 12 + 1}{1} = \frac{-2}{1} = -2 \).

При \(a = 5\) считаем: \( \frac{5^2 — 4 \cdot 5 + 1}{5 — 2} = \frac{25 — 20 + 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \).

Таким образом, для всех этих значений \(a\) дробь принимает целые значения, равные либо \(2\), либо \(-2\).