ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 205 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Зная, что \(m\) — целое число, найдите целые значения дроби:
а) \(\frac{m^2 — 6m + 10}{m — 3}\),
б) \(\frac{(m-4)^2}{m — 2}\).
1) Обсудите, какие преобразования надо выполнить, чтобы найти целые значения дроби.
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнены преобразования и верно ли найдены целые значения дроби. Исправьте замеченные ошибки.

а) \( \frac{m^2 — 6m + 10}{m — 3} = \frac{m^2 — 6m + 9 + 1}{m — 3} = \frac{(m — 3)^2 + 1}{m — 3} = \frac{(m — 3)^2}{m — 3} + \frac{1}{m — 3} = m — 3 + \frac{1}{m — 3} \)

Так как дробь является целым числом, то \( \frac{1}{m — 3} \) должно быть
целым числом, значит, \( m — 3 = \pm 1 \).

\( m — 3 = -1, \quad m — 3 = 1 \Rightarrow m = 2, \quad m = 4 \).

при \( m = 2 \):
\( \frac{2^2 — 6 \cdot 2 + 10}{2 — 3} = \frac{4 — 12 + 10}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 \).

при \( m = 4 \):
\( \frac{4^2 — 6 \cdot 4 + 10}{4 — 3} = \frac{16 — 24 + 10}{1} = \frac{2}{1} = 2 \).

б) \( \frac{m^2 — 4m + 4 + 12}{m — 2} = \frac{m^2 — 8m + 16}{m — 2} = \)

\( = \frac{(m — 2)^2 — 4m + 8 + 4}{m — 2} = \frac{(m — 2)^2}{m — 2} — \frac{4m — 8}{m — 2} + \frac{4}{m — 2} = \)

\( = m — 2 — 4 + \frac{4}{m — 2} = m — 6 + \frac{4}{m — 2} \).

Так как дробь является целым числом, то \( \frac{4}{m — 2} \) должно быть
целым числом, значит \( m — 2 = \pm 1, \pm 2, \pm 4 \).

\( m — 2 = -1, \quad m — 2 = 1, \quad m — 2 = -2, \quad m — 2 = 2,\)
\( m — 2 = -4, \quad m — 2 = 4 \)

\( m = 1, \quad m = 3, \quad m = 0, \quad m = 4, \quad m = -2,
\quad m = 6 \).

при \( m = -1 \):
\( \frac{(1 — 4)^2}{1 — 2} = \frac{(-3)^2}{-1} = \frac{9}{-1} = -9 \).

при \( m = 3 \):
\( \frac{(3 — 4)^2}{3 — 2} = \frac{1^2}{1} = 1 \).

при \( m = 0 \):
\( \frac{(0 — 4)^2}{0 — 2} = \frac{16}{-2} = -8 \).

при \( m = 4 \):
\( \frac{(4 — 4)^2}{4 — 2} = \frac{0}{2} = 0 \).

при \( m = -2 \):
\( \frac{(-2 — 4)^2}{-2 — 2} = \frac{(-6)^2}{-4} = \frac{36}{-4} = -9 \).

при \( m = 6 \):
\( \frac{(6 — 4)^2}{6 — 2} = \frac{2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1 \).

а) Рассмотрим выражение \( \frac{m^2 — 6m + 10}{m — 3} \). Для упрощения числителя выделим полный квадрат: \( m^2 — 6m + 9 + 1 = (m — 3)^2 + 1 \). Тогда дробь перепишется как \( \frac{(m — 3)^2 + 1}{m — 3} \). Разделим на две части: \( \frac{(m — 3)^2}{m — 3} + \frac{1}{m — 3} \). Первая часть равна \( m — 3 \), вторая — \( \frac{1}{m — 3} \). Таким образом, выражение равно \( m — 3 + \frac{1}{m — 3} \).

Чтобы эта сумма была целым числом, дробь \( \frac{1}{m — 3} \) должна быть целым числом. Единственные целые значения, при которых это возможно — \( m — 3 = \pm 1 \), так как \( \frac{1}{k} \) — целое число только при \( k = \pm 1 \). Отсюда получаем \( m = 2 \) или \( m = 4 \).

Подставим эти значения в исходное выражение. При \( m = 2 \) числитель равен \( 2^2 — 6 \cdot 2 + 10 = 4 — 12 + 10 = 2 \), знаменатель \( 2 — 3 = -1 \), результат \( \frac{2}{-1} = -2 \). При \( m = 4 \) числитель \( 4^2 — 6 \cdot 4 + 10 = 16 — 24 + 10 = 2 \), знаменатель \( 4 — 3 = 1 \), результат \( \frac{2}{1} = 2 \).

б) Рассмотрим выражение \( \frac{m^2 — 4m + 4 + 12}{m — 2} \). Упростим числитель: \( m^2 — 8m + 16 \), так как \( m^2 — 4m + 4 + 12 = m^2 — 4m + 16 + (-4m) = m^2 — 8m + 16 \). Это можно представить как \( (m — 2)^2 — 4m + 8 + 4 \), но удобнее сразу разложить числитель на части для деления.

Разделим числитель на знаменатель: \( \frac{(m — 2)^2 — 4m + 8 + 4}{m — 2} = \frac{(m — 2)^2}{m — 2} — \frac{4m — 8}{m — 2} + \frac{4}{m — 2} \). Первая часть равна \( m — 2 \), вторая упрощается: \( \frac{4m — 8}{m — 2} = 4 \), так как \( 4m — 8 = 4(m — 2) \). Тогда выражение равно \( m — 2 — 4 + \frac{4}{m — 2} = m — 6 + \frac{4}{m — 2} \).

Для целочисленности результата дробь \( \frac{4}{m — 2} \) должна быть целым числом. Значит, \( m — 2 \) — делитель числа 4, то есть \( m — 2 = \pm 1, \pm 2, \pm 4 \). Следовательно, возможны значения \( m = 1, 3, 0, 4, -2, 6 \).

Проверим эти значения в исходном выражении. При \( m = 1 \): числитель \( (1 — 4)^2 = 9 \), знаменатель \( 1 — 2 = -1 \), результат \( \frac{9}{-1} = -9 \). При \( m = 3 \): числитель \( (3 — 4)^2 = 1 \), знаменатель \( 3 — 2 = 1 \), результат 1. При \( m = 0 \): числитель \( (0 — 4)^2 = 16 \), знаменатель \( 0 — 2 = -2 \), результат \( -8 \). При \( m = 4 \): числитель \( (4 — 4)^2 = 0 \), знаменатель \( 4 — 2 = 2 \), результат 0. При \( m = -2 \): числитель \( (-2 — 4)^2 = 36 \), знаменатель \( -2 — 2 = -4 \), результат \( -9 \). При \( m = 6 \): числитель \( (6 — 4)^2 = 4 \), знаменатель \( 6 — 2 = 4 \), результат 1.