Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 206 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) \(5x + y — xy = 2\);
б) \(xy — x + y = 8\).
а) 5x + y — xy = 2
x(5 — y) + y = 2
x(5 — y) = 2 — y
\(x = \frac{2 — y}{5 — y}\)
\(x = \frac{5 — 3 — y}{5 — y}\)
\(x = \frac{5 — y}{5 — y} — \frac{3}{5 — y}\)
\(x = 1 — \frac{3}{5 — y}\).
\(5 — y = \pm 1, \quad 5 — y = \pm 3\)
\(5 — y = -1, \quad 5 — y = 1, \quad 5 — y = -3, \quad 5 — y = 3\)
\(y = 6, \quad y = 4, \quad y = 8, \quad y = 2\)
при \(y = 6\):
\(1 — \frac{3}{5 — 6} = 1 — \frac{3}{-1} = 1 + 3 = 4\).
при \(y = 4\):
\(1 — \frac{3}{5 — 4} = 1 — \frac{3}{1} = 1 — 3 = -2\).
при \(y = 8\):
\(1 — \frac{3}{5 — 8} = 1 — \frac{3}{-3} = 1 + 1 = 2\).
при \(y = 2\):
\(1 — \frac{3}{5 — 2} = 1 — \frac{3}{3} = 1 — 1 = 0\).
б) \(xy — x + y = 8\)
\(x(y — 1) + y = 8\)
\(x(y — 1) = 8 — y\)
\(x = \frac{8 — y}{y — 1}\)
\(x = \frac{y — 1 — 2y + 9}{y — 1}\)
\(x = \frac{y — 1}{y — 1} — \frac{2y + 2 — 7}{y — 1}\)
\(x = 1 — \frac{2(y — 1)}{y — 1} + \frac{7}{y — 1}\)
\(x = 1 — 2 + \frac{7}{y — 1}\)
\(x = \frac{7}{y — 1} — 1\).
\(y — 1 = \pm 1, \quad y — 1 = \pm 7\)
\(y — 1 = -1, \quad y — 1 = 1, \quad y — 1 = -7, \quad y — 1 = 7\)
\(y = 0, \quad y = 2, \quad y = -6, \quad y = 8\)
при \(y = 0\):
\(\frac{7}{0 — 1} — 1 = \frac{7}{-1} — 1 = -7 — 1 = -8\).
при \(y = 2\):
\(\frac{7}{2 — 1} — 1 = \frac{7}{1} — 1 = 7 — 1 = 6\).
при \(y = -6\):
\(\frac{7}{-6 — 1} — 1 = \frac{7}{-7} — 1 = -1 — 1 = -2\).
при \(y = 8\):
\(\frac{7}{8 — 1} — 1 = \frac{7}{7} — 1 = 1 — 1 = 0\).
а) Уравнение \(5x + y — xy = 2\) можно переписать, сгруппировав члены с \(x\): \(x(5 — y) + y = 2\). Это позволяет выразить \(x\) через \(y\), так как \(x(5 — y) = 2 — y\), откуда \(x = \frac{2 — y}{5 — y}\). Далее для удобства преобразуем числитель: \(2 — y = 5 — 3 — y\), что даёт \(x = \frac{5 — 3 — y}{5 — y}\). Разделим дробь на две части: \(x = \frac{5 — y}{5 — y} — \frac{3}{5 — y}\), что упрощается до \(x = 1 — \frac{3}{5 — y}\).
Далее анализируем значения \(y\), при которых выражение имеет смысл и интересные корни. Рассматриваем случаи, когда знаменатель \(5 — y\) равен \(\pm 1\) или \(\pm 3\), то есть \(5 — y = \pm 1\) и \(5 — y = \pm 3\). Отсюда получаем четыре уравнения: \(5 — y = -1\), \(5 — y = 1\), \(5 — y = -3\), \(5 — y = 3\), которые решаются как \(y = 6\), \(y = 4\), \(y = 8\), \(y = 2\) соответственно.
Подставляя эти значения в выражение для \(x\), получаем: при \(y = 6\), \(x = 1 — \frac{3}{5 — 6} = 1 — \frac{3}{-1} = 1 + 3 = 4\); при \(y = 4\), \(x = 1 — \frac{3}{1} = 1 — 3 = -2\); при \(y = 8\), \(x = 1 — \frac{3}{-3} = 1 + 1 = 2\); при \(y = 2\), \(x = 1 — \frac{3}{3} = 1 — 1 = 0\). Таким образом, для каждого значения \(y\) мы нашли соответствующее \(x\).
б) Уравнение \(xy — x + y = 8\) также преобразуем, выделив общий множитель: \(x(y — 1) + y = 8\). Отсюда \(x(y — 1) = 8 — y\), и выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \frac{8 — y}{y — 1}\). Для упрощения числителя раскладываем \(8 — y\) как \(y — 1 — 2y + 9\), что даёт \(x = \frac{y — 1 — 2y + 9}{y — 1}\). Далее разделим дробь на части: \(x = \frac{y — 1}{y — 1} — \frac{2y — 9}{y — 1}\), что даёт \(x = 1 — \frac{2(y — 1)}{y — 1} + \frac{7}{y — 1}\) после корректировки числителя.
Сокращая, получаем \(x = 1 — 2 + \frac{7}{y — 1} = \frac{7}{y — 1} — 1\). Для поиска значений \(y\), при которых знаменатель равен \(\pm 1\) или \(\pm 7\), решаем уравнения \(y — 1 = \pm 1\) и \(y — 1 = \pm 7\). Это даёт \(y = 0, 2, -6, 8\).
Подставляя найденные \(y\) в выражение для \(x\), получаем: при \(y = 0\), \(x = \frac{7}{0 — 1} — 1 = -7 — 1 = -8\); при \(y = 2\), \(x = \frac{7}{2 — 1} — 1 = 7 — 1 = 6\); при \(y = -6\), \(x = \frac{7}{-6 — 1} — 1 = \frac{7}{-7} — 1 = -1 — 1 = -2\); при \(y = 8\), \(x = \frac{7}{8 — 1} — 1 = 1 — 1 = 0\). Таким образом, для каждого значения \(y\) найдены соответствующие \(x\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!