ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 206 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все пары целых чисел, удовлетворяющие уравнению:
а) \(5x + y — xy = 2\);
б) \(xy — x + y = 8\).

а) 5x + y — xy = 2
x(5 — y) + y = 2
x(5 — y) = 2 — y
\(x = \frac{2 — y}{5 — y}\)
\(x = \frac{5 — 3 — y}{5 — y}\)
\(x = \frac{5 — y}{5 — y} — \frac{3}{5 — y}\)
\(x = 1 — \frac{3}{5 — y}\).

\(5 — y = \pm 1, \quad 5 — y = \pm 3\)
\(5 — y = -1, \quad 5 — y = 1, \quad 5 — y = -3, \quad 5 — y = 3\)
\(y = 6, \quad y = 4, \quad y = 8, \quad y = 2\)

при \(y = 6\):
\(1 — \frac{3}{5 — 6} = 1 — \frac{3}{-1} = 1 + 3 = 4\).

при \(y = 4\):
\(1 — \frac{3}{5 — 4} = 1 — \frac{3}{1} = 1 — 3 = -2\).

при \(y = 8\):
\(1 — \frac{3}{5 — 8} = 1 — \frac{3}{-3} = 1 + 1 = 2\).

при \(y = 2\):
\(1 — \frac{3}{5 — 2} = 1 — \frac{3}{3} = 1 — 1 = 0\).

б) \(xy — x + y = 8\)
\(x(y — 1) + y = 8\)
\(x(y — 1) = 8 — y\)
\(x = \frac{8 — y}{y — 1}\)
\(x = \frac{y — 1 — 2y + 9}{y — 1}\)
\(x = \frac{y — 1}{y — 1} — \frac{2y + 2 — 7}{y — 1}\)
\(x = 1 — \frac{2(y — 1)}{y — 1} + \frac{7}{y — 1}\)
\(x = 1 — 2 + \frac{7}{y — 1}\)
\(x = \frac{7}{y — 1} — 1\).

\(y — 1 = \pm 1, \quad y — 1 = \pm 7\)
\(y — 1 = -1, \quad y — 1 = 1, \quad y — 1 = -7, \quad y — 1 = 7\)
\(y = 0, \quad y = 2, \quad y = -6, \quad y = 8\)

при \(y = 0\):
\(\frac{7}{0 — 1} — 1 = \frac{7}{-1} — 1 = -7 — 1 = -8\).

при \(y = 2\):
\(\frac{7}{2 — 1} — 1 = \frac{7}{1} — 1 = 7 — 1 = 6\).

при \(y = -6\):
\(\frac{7}{-6 — 1} — 1 = \frac{7}{-7} — 1 = -1 — 1 = -2\).

при \(y = 8\):
\(\frac{7}{8 — 1} — 1 = \frac{7}{7} — 1 = 1 — 1 = 0\).

а) Уравнение \(5x + y — xy = 2\) можно переписать, сгруппировав члены с \(x\): \(x(5 — y) + y = 2\). Это позволяет выразить \(x\) через \(y\), так как \(x(5 — y) = 2 — y\), откуда \(x = \frac{2 — y}{5 — y}\). Далее для удобства преобразуем числитель: \(2 — y = 5 — 3 — y\), что даёт \(x = \frac{5 — 3 — y}{5 — y}\). Разделим дробь на две части: \(x = \frac{5 — y}{5 — y} — \frac{3}{5 — y}\), что упрощается до \(x = 1 — \frac{3}{5 — y}\).

Далее анализируем значения \(y\), при которых выражение имеет смысл и интересные корни. Рассматриваем случаи, когда знаменатель \(5 — y\) равен \(\pm 1\) или \(\pm 3\), то есть \(5 — y = \pm 1\) и \(5 — y = \pm 3\). Отсюда получаем четыре уравнения: \(5 — y = -1\), \(5 — y = 1\), \(5 — y = -3\), \(5 — y = 3\), которые решаются как \(y = 6\), \(y = 4\), \(y = 8\), \(y = 2\) соответственно.

Подставляя эти значения в выражение для \(x\), получаем: при \(y = 6\), \(x = 1 — \frac{3}{5 — 6} = 1 — \frac{3}{-1} = 1 + 3 = 4\); при \(y = 4\), \(x = 1 — \frac{3}{1} = 1 — 3 = -2\); при \(y = 8\), \(x = 1 — \frac{3}{-3} = 1 + 1 = 2\); при \(y = 2\), \(x = 1 — \frac{3}{3} = 1 — 1 = 0\). Таким образом, для каждого значения \(y\) мы нашли соответствующее \(x\).

б) Уравнение \(xy — x + y = 8\) также преобразуем, выделив общий множитель: \(x(y — 1) + y = 8\). Отсюда \(x(y — 1) = 8 — y\), и выражаем \(x\) через \(y\): \(x = \frac{8 — y}{y — 1}\). Для упрощения числителя раскладываем \(8 — y\) как \(y — 1 — 2y + 9\), что даёт \(x = \frac{y — 1 — 2y + 9}{y — 1}\). Далее разделим дробь на части: \(x = \frac{y — 1}{y — 1} — \frac{2y — 9}{y — 1}\), что даёт \(x = 1 — \frac{2(y — 1)}{y — 1} + \frac{7}{y — 1}\) после корректировки числителя.

Сокращая, получаем \(x = 1 — 2 + \frac{7}{y — 1} = \frac{7}{y — 1} — 1\). Для поиска значений \(y\), при которых знаменатель равен \(\pm 1\) или \(\pm 7\), решаем уравнения \(y — 1 = \pm 1\) и \(y — 1 = \pm 7\). Это даёт \(y = 0, 2, -6, 8\).

Подставляя найденные \(y\) в выражение для \(x\), получаем: при \(y = 0\), \(x = \frac{7}{0 — 1} — 1 = -7 — 1 = -8\); при \(y = 2\), \(x = \frac{7}{2 — 1} — 1 = 7 — 1 = 6\); при \(y = -6\), \(x = \frac{7}{-6 — 1} — 1 = \frac{7}{-7} — 1 = -1 — 1 = -2\); при \(y = 8\), \(x = \frac{7}{8 — 1} — 1 = 1 — 1 = 0\). Таким образом, для каждого значения \(y\) найдены соответствующие \(x\).