Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 207 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите все точки графика функции \(y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3}\) с целочисленными координатами.
\( y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} \)
\( \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{x^2 — 6x + 9 — 8}{x — 3} = \frac{(x — 3)^2 — 8}{x — 3} = \frac{(x — 3)^2}{x — 3} — \frac{8}{x — 3} = x — 3 — \frac{8}{x — 3} \)
\( x — 3 = \pm 1, \quad x — 3 = \pm 2, \quad x — 3 = \pm 4, \quad x — 3 = \pm 8 \)
\( x = 2; \quad 4. \quad x = 1; \quad 5. \quad x = -1; \quad 7. \quad x = -5; \quad 11. \)
при \( x = 2 \):
\( y = 2 — 3 — \frac{8}{2 — 3} = -1 — \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7. \)
при \( x = 4 \):
\( y = 4 — 3 — \frac{8}{4 — 3} = 1 — \frac{8}{1} = 1 — 8 = -7. \)
при \( x = 1 \):
\( y = 1 — 3 — \frac{8}{1 — 3} = -2 — \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2. \)
при \( x = 5 \):
\( y = 5 — 3 — \frac{8}{5 — 3} = 2 — \frac{8}{2} = 2 — 4 = -2. \)
при \( x = -1 \):
\( y = -1 — 3 — \frac{8}{-1 — 3} = -4 — \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2. \)
при \( x = 7 \):
\( y = 7 — 3 — \frac{8}{7 — 3} = 4 — \frac{8}{4} = 4 — 2 = 2. \)
при \( x = -5 \):
\( y = -5 — 3 — \frac{8}{-5 — 3} = -8 — \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7. \)
при \( x = 11 \):
\( y = 11 — 3 — \frac{8}{11 — 3} = 8 — \frac{8}{8} = 8 — 1 = 7. \)
Ответ: \( (2; 7), (4; -7), (1; 2), (5; -2), (-1; -2), (7; 2), (-5; -7), (11; 7) \)
\( y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} \)
Для начала преобразуем выражение в числителе, чтобы упростить дробь. Заметим, что \(x^2 — 6x + 1\) можно представить как \(x^2 — 6x + 9 — 8\), так как \(9 — 8 = 1\). Это позволяет записать числитель в виде разности квадратов: \(x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2\). Следовательно, исходное выражение перепишется так: \( \frac{(x — 3)^2 — 8}{x — 3} \).
Далее разделим дробь на две части: \(\frac{(x — 3)^2}{x — 3} — \frac{8}{x — 3}\). Первая часть сокращается до \(x — 3\), так как \(\frac{(x — 3)^2}{x — 3} = x — 3\). Таким образом, функция принимает вид \(y = x — 3 — \frac{8}{x — 3}\).
Теперь рассмотрим уравнение \(x — 3 = t\), чтобы найти возможные значения \(t\), при которых \(y = t — \frac{8}{t}\). Чтобы упростить вычисления, приравняем \(t — \frac{8}{t}\) к некоторым значениям, полученным из условия задачи, и найдем \(t\). Из условия: \(t = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\). Это значит, что \(x — 3\) может равняться этим значениям, а \(x\) соответственно будет \(x = 3 + t\).
При \(x — 3 = \pm 1\), то есть \(x = 2\) или \(x = 4\), вычислим \(y\). Для \(x = 2\) подставляем в выражение \(y = x — 3 — \frac{8}{x — 3}\), получаем \(y = 2 — 3 — \frac{8}{2 — 3} = -1 — \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7\). Аналогично для \(x = 4\) получаем \(y = 4 — 3 — \frac{8}{4 — 3} = 1 — \frac{8}{1} = 1 — 8 = -7\).
При \(x — 3 = \pm 2\), то есть \(x = 1\) или \(x = 5\), вычисляем \(y\). Для \(x = 1\): \(y = 1 — 3 — \frac{8}{1 — 3} = -2 — \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2\). Для \(x = 5\): \(y = 5 — 3 — \frac{8}{5 — 3} = 2 — \frac{8}{2} = 2 — 4 = -2\).
При \(x — 3 = \pm 4\), то есть \(x = -1\) или \(x = 7\), вычислим \(y\). При \(x = -1\): \(y = -1 — 3 — \frac{8}{-1 — 3} = -4 — \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2\). При \(x = 7\): \(y = 7 — 3 — \frac{8}{7 — 3} = 4 — \frac{8}{4} = 4 — 2 = 2\).
При \(x — 3 = \pm 8\), то есть \(x = -5\) или \(x = 11\), вычислим \(y\). При \(x = -5\): \(y = -5 — 3 — \frac{8}{-5 — 3} = -8 — \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7\). При \(x = 11\): \(y = 11 — 3 — \frac{8}{11 — 3} = 8 — \frac{8}{8} = 8 — 1 = 7\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!