ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 208 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}\) не является целым числом.

\( \frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = \frac{5a^2 + 5 + 1}{a^2 + 1} \) — здесь мы выделили из числителя сумму \(5a^2 + 5\), которую можно представить как \(5(a^2 + 1)\), и добавили оставшуюся единицу. Это упрощение позволяет разделить дробь на две части: \(\frac{5(a^2 + 1)}{a^2 + 1} + \frac{1}{a^2 + 1}\). Поскольку \(a^2 + 1 \neq 0\) для всех действительных \(a\), первая часть равна просто 5. Таким образом, выражение переписывается как \(5 + \frac{1}{a^2 + 1}\).

Далее рассмотрим вторую часть дроби — \(\frac{1}{a^2 + 1}\). Для того чтобы вся дробь была целым числом, выражение \(\frac{1}{a^2 + 1}\) должно быть целым. Это возможно только если знаменатель равен \( \pm 1 \), то есть \(a^2 + 1 = \pm 1\). Рассмотрим оба случая: если \(a^2 + 1 = 1\), тогда \(a^2 = 0\) и \(a = 0\); если \(a^2 + 1 = -1\), тогда \(a^2 = -2\), что невозможно для действительных чисел, так как квадрат любого числа неотрицателен.

При \(a = 0\) исходное выражение становится \(\frac{5 \cdot 0 + 6}{0 + 1} = \frac{6}{1} = 6\), что действительно целое число. Однако в условии задачи указано, что \(a\) не должен быть равен нулю, поэтому этот корень исключается. Следовательно, для всех остальных значений \(a\), отличных от нуля, значение дроби не является целым числом, так как \(\frac{1}{a^2 + 1}\) не может быть целым числом.

Таким образом, анализ показывает, что при любых \(a \neq 0\) дробь \( \frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} \) не принимает целочисленных значений, поскольку знаменатель \(a^2 + 1\) всегда больше 1, а значит \(\frac{1}{a^2 + 1}\) — дробь, не равная целому числу. При \(a = 0\) дробь равна 6, но это значение не подходит по условию задачи. Следовательно, целых значений у выражения при допустимых \(a\) нет.

\( y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} \)

Для начала преобразуем выражение в числителе, чтобы упростить дробь. Заметим, что \(x^2 — 6x + 1\) можно представить как \(x^2 — 6x + 9 — 8\), так как \(9 — 8 = 1\). Это позволяет записать числитель в виде разности квадратов: \(x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2\). Следовательно, исходное выражение перепишется так: \( \frac{(x — 3)^2 — 8}{x — 3} \).

Далее разделим дробь на две части: \(\frac{(x — 3)^2}{x — 3} — \frac{8}{x — 3}\). Первая часть сокращается до \(x — 3\), так как \(\frac{(x — 3)^2}{x — 3} = x — 3\). Таким образом, функция принимает вид \(y = x — 3 — \frac{8}{x — 3}\).

Теперь рассмотрим уравнение \(x — 3 = t\), чтобы найти возможные значения \(t\), при которых \(y = t — \frac{8}{t}\). Чтобы упростить вычисления, приравняем \(t — \frac{8}{t}\) к некоторым значениям, полученным из условия задачи, и найдем \(t\). Из условия: \(t = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8\). Это значит, что \(x — 3\) может равняться этим значениям, а \(x\) соответственно будет \(x = 3 + t\).

При \(x — 3 = \pm 1\), то есть \(x = 2\) или \(x = 4\), вычислим \(y\). Для \(x = 2\) подставляем в выражение \(y = x — 3 — \frac{8}{x — 3}\), получаем \(y = 2 — 3 — \frac{8}{2 — 3} = -1 — \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7\). Аналогично для \(x = 4\) получаем \(y = 4 — 3 — \frac{8}{4 — 3} = 1 — \frac{8}{1} = 1 — 8 = -7\).

При \(x — 3 = \pm 2\), то есть \(x = 1\) или \(x = 5\), вычисляем \(y\). Для \(x = 1\): \(y = 1 — 3 — \frac{8}{1 — 3} = -2 — \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2\). Для \(x = 5\): \(y = 5 — 3 — \frac{8}{5 — 3} = 2 — \frac{8}{2} = 2 — 4 = -2\).

При \(x — 3 = \pm 4\), то есть \(x = -1\) или \(x = 7\), вычислим \(y\). При \(x = -1\): \(y = -1 — 3 — \frac{8}{-1 — 3} = -4 — \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2\). При \(x = 7\): \(y = 7 — 3 — \frac{8}{7 — 3} = 4 — \frac{8}{4} = 4 — 2 = 2\).

При \(x — 3 = \pm 8\), то есть \(x = -5\) или \(x = 11\), вычислим \(y\). При \(x = -5\): \(y = -5 — 3 — \frac{8}{-5 — 3} = -8 — \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7\). При \(x = 11\): \(y = 11 — 3 — \frac{8}{11 — 3} = 8 — \frac{8}{8} = 8 — 1 = 7\).