Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).
1 по \(a\) и \(b\):
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}\)
\(\frac{1}{b} = \frac{1}{7} — \frac{1}{a}\)
\(\frac{1}{b} = \frac{a — 7}{7a}\)
\(b = \frac{7a}{a — 7} = \frac{7a — 49 + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7) + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7)}{a — 7} + \frac{49}{a — 7} =\)
\(= 7 + \frac{49}{a — 7}\).
\(a — 7 = 1, \quad a — 7 = 7, \quad a — 7 = 49\)
\(a = 8 \quad a = 14 \quad a = 56\)
при \(a = 8\):
\(b = 7 + \frac{49}{8 — 7} = 7 + \frac{49}{1} = 7 + 49 = 56\).
при \(a = 14\):
\(b = 7 + \frac{49}{14 — 7} = 7 + \frac{49}{7} = 7 + 7 = 14\).
при \(a = 56\):
\(b = 7 + \frac{49}{56 — 7} = 7 + \frac{49}{49} = 7 + 1 = 8\).
Ответ: \((8; 56), (14; 14), (56; 8)\).
\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7} \) — уравнение задано в виде суммы двух дробей, равной дроби с числителем 1 и знаменателем 7. Перепишем уравнение, выразив \( \frac{1}{b} \) через \( a \). Для этого перенесём \( \frac{1}{a} \) вправо, получим \( \frac{1}{b} = \frac{1}{7} — \frac{1}{a} \). Чтобы сложить дроби справа, приводим их к общему знаменателю, который равен \( 7a \). Получается \( \frac{1}{b} = \frac{a}{7a} — \frac{7}{7a} = \frac{a — 7}{7a} \). Теперь, чтобы найти \( b \), нужно взять обратную дробь: \( b = \frac{7a}{a — 7} \).
Далее упростим выражение для \( b \). Представим числитель \( 7a \) как сумму \( 7a — 49 + 49 \), чтобы выделить общий множитель в знаменателе \( a — 7 \). Тогда \( b = \frac{7a — 49 + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7) + 49}{a — 7} \). Разделим эту дробь на две части: \( \frac{7(a — 7)}{a — 7} + \frac{49}{a — 7} \). Первая часть равна 7, так как числитель и знаменатель совпадают, значит \( b = 7 + \frac{49}{a — 7} \). Это выражение показывает зависимость \( b \) от \( a \) и позволяет найти конкретные значения при определённых \( a \).
Теперь решим уравнение, приравнивая знаменатель \( a — 7 \) к значениям, при которых дробь будет целой. Рассмотрим три варианта: \( a — 7 = 1 \), \( a — 7 = 7 \), \( a — 7 = 49 \). Из них получаем \( a = 8 \), \( a = 14 \), \( a = 56 \). Подставим эти значения в формулу для \( b \). При \( a = 8 \) получаем \( b = 7 + \frac{49}{8 — 7} = 7 + 49 = 56 \). При \( a = 14 \) будет \( b = 7 + \frac{49}{14 — 7} = 7 + 7 = 14 \). При \( a = 56 \) — \( b = 7 + \frac{49}{56 — 7} = 7 + 1 = 8 \). Таким образом, все три пары \( (a; b) \) удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ: \( (8; 56), (14; 14), (56; 8) \).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!