ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите все пары натуральных чисел \(a\) и \(b\), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).

1 по \(a\) и \(b\):
\(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}\)
\(\frac{1}{b} = \frac{1}{7} — \frac{1}{a}\)
\(\frac{1}{b} = \frac{a — 7}{7a}\)
\(b = \frac{7a}{a — 7} = \frac{7a — 49 + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7) + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7)}{a — 7} + \frac{49}{a — 7} =\)
\(= 7 + \frac{49}{a — 7}\).

\(a — 7 = 1, \quad a — 7 = 7, \quad a — 7 = 49\)
\(a = 8 \quad a = 14 \quad a = 56\)

при \(a = 8\):
\(b = 7 + \frac{49}{8 — 7} = 7 + \frac{49}{1} = 7 + 49 = 56\).

при \(a = 14\):
\(b = 7 + \frac{49}{14 — 7} = 7 + \frac{49}{7} = 7 + 7 = 14\).

при \(a = 56\):
\(b = 7 + \frac{49}{56 — 7} = 7 + \frac{49}{49} = 7 + 1 = 8\).

Ответ: \((8; 56), (14; 14), (56; 8)\).

\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7} \) — уравнение задано в виде суммы двух дробей, равной дроби с числителем 1 и знаменателем 7. Перепишем уравнение, выразив \( \frac{1}{b} \) через \( a \). Для этого перенесём \( \frac{1}{a} \) вправо, получим \( \frac{1}{b} = \frac{1}{7} — \frac{1}{a} \). Чтобы сложить дроби справа, приводим их к общему знаменателю, который равен \( 7a \). Получается \( \frac{1}{b} = \frac{a}{7a} — \frac{7}{7a} = \frac{a — 7}{7a} \). Теперь, чтобы найти \( b \), нужно взять обратную дробь: \( b = \frac{7a}{a — 7} \).

Далее упростим выражение для \( b \). Представим числитель \( 7a \) как сумму \( 7a — 49 + 49 \), чтобы выделить общий множитель в знаменателе \( a — 7 \). Тогда \( b = \frac{7a — 49 + 49}{a — 7} = \frac{7(a — 7) + 49}{a — 7} \). Разделим эту дробь на две части: \( \frac{7(a — 7)}{a — 7} + \frac{49}{a — 7} \). Первая часть равна 7, так как числитель и знаменатель совпадают, значит \( b = 7 + \frac{49}{a — 7} \). Это выражение показывает зависимость \( b \) от \( a \) и позволяет найти конкретные значения при определённых \( a \).

Теперь решим уравнение, приравнивая знаменатель \( a — 7 \) к значениям, при которых дробь будет целой. Рассмотрим три варианта: \( a — 7 = 1 \), \( a — 7 = 7 \), \( a — 7 = 49 \). Из них получаем \( a = 8 \), \( a = 14 \), \( a = 56 \). Подставим эти значения в формулу для \( b \). При \( a = 8 \) получаем \( b = 7 + \frac{49}{8 — 7} = 7 + 49 = 56 \). При \( a = 14 \) будет \( b = 7 + \frac{49}{14 — 7} = 7 + 7 = 14 \). При \( a = 56 \) — \( b = 7 + \frac{49}{56 — 7} = 7 + 1 = 8 \). Таким образом, все три пары \( (a; b) \) удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ: \( (8; 56), (14; 14), (56; 8) \).