ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 21 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Верно ли утверждение:
а) наибольшее значение дроби
\(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 1;
б) наибольшее значение дроби
\(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2;
в) наименьшее значение дроби
\(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2?

Дана дробь:
\(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\).

Чем меньше знаменатель, тем больше дробь.
Если \(x = 0\) и \(y = 0\), то наибольшее значение дроби:
\(\frac{18}{9} = 2\).

Таким образом:
а) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 1 \(\Rightarrow\) неверно;
б) наибольшее значение дроби \(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2 \(\Rightarrow\) верно;
в) наименьшее значение дроби \(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\) равно 2 \(\Rightarrow\) неверно.

а) Рассмотрим дробь \(\frac{18}{4x^2 + 9 + y^2 + 4xy}\). Чтобы найти наибольшее значение дроби, нужно минимизировать знаменатель, так как числитель постоянен и равен 18. Знаменатель выражения состоит из квадратичного трехчлена с переменными \(x\) и \(y\), где все слагаемые неотрицательны или могут быть приведены к положительным значениям. Для проверки подставим \(x = 0\) и \(y = 0\), тогда знаменатель равен \(4 \cdot 0^2 + 9 + 0^2 + 4 \cdot 0 \cdot 0 = 9\). Значит, при этих значениях знаменатель минимален, и дробь достигает максимума \(\frac{18}{9} = 2\). Утверждение, что наибольшее значение дроби равно 1, неверно, так как дробь может принимать значение 2 при указанных значениях переменных.

б) Рассмотрим утверждение, что наибольшее значение дроби равно 2. Как уже было показано, при \(x = 0\) и \(y = 0\) знаменатель минимален и равен 9, что даёт дроби значение \(\frac{18}{9} = 2\). Поскольку знаменатель выражения является суммой квадратов и произведений, он не может быть меньше 9, следовательно, дробь не может принимать значения больше 2. Таким образом, наибольшее значение дроби действительно равно 2, и это утверждение является верным.

в) Теперь рассмотрим утверждение, что наименьшее значение дроби равно 2. Для того чтобы дробь была минимальной, нужно максимизировать знаменатель \(4x^2 + 9 + y^2 + 4xy\). Поскольку квадратичная форма в знаменателе не ограничена сверху, знаменатель может стремиться к бесконечности, а значит, дробь может стремиться к нулю. Следовательно, утверждение, что наименьшее значение дроби равно 2, неверно, так как дробь может принимать значения, сколь угодно близкие к нулю, но не равные 2.