ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 210 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение дроби \(\frac{3x^2 — xy + 6y^2}{y^2}\), если \(\frac{x — y}{y} = 2\).

\( \frac{x-y}{y} = 2 \Rightarrow x — y = 2y \Rightarrow x = 3y. \)

\( \frac{3x^2 — xy + 6y^2}{y^2} = \frac{3(3y)^2 — 3y \cdot y + 6y^2}{y^2} = \frac{27y^2 — 3y^2 + 6y^2}{y^2} = \frac{30y^2}{y^2} = 30. \)

\( \frac{x — y}{y} = 2 \) — это исходное уравнение, в котором выражается отношение разности \(x\) и \(y\) к \(y\). Чтобы избавиться от дроби, умножаем обе части уравнения на \(y\), получая \(x — y = 2y\). Здесь мы просто применили правило умножения обеих частей равенства на одно и то же число, чтобы упростить выражение. Далее, чтобы выразить \(x\), переносим \(y\) вправо и складываем с \(2y\): \(x = y + 2y = 3y\). Таким образом, переменная \(x\) выражена через \(y\), что позволяет подставлять это значение в другие выражения.

Теперь рассмотрим выражение \( \frac{3x^2 — xy + 6y^2}{y^2} \). Подставляем найденное значение \(x = 3y\) вместо \(x\), чтобы упростить числитель: \(3(3y)^2 — 3y \cdot y + 6y^2\). Возводим \(3y\) в квадрат: \( (3y)^2 = 9y^2 \), поэтому числитель становится \(3 \cdot 9y^2 — 3y^2 + 6y^2\). Умножение даёт \(27y^2 — 3y^2 + 6y^2\). Далее складываем подобные члены: \(27y^2 — 3y^2 = 24y^2\), а к ним прибавляем \(6y^2\), получая \(30y^2\).

В знаменателе стоит \(y^2\), поэтому дробь принимает вид \( \frac{30y^2}{y^2} \). Поскольку \(y^2\) в числителе и знаменателе сокращаются, остаётся просто число 30. Это означает, что исходное выражение при условии \(x = 3y\) равно 30. Таким образом, мы последовательно упростили дробь, используя подстановку и свойства степеней, чтобы получить окончательный результат.