ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 214 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите допустимые значения переменной в выражении:
a) \(\frac{3x — 8}{25}\);
б) \(\frac{37}{2y + 7}\);
в) \(\frac{9}{x^2 — 7x}\);
г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8}\);
д) \(\frac{12}{|x| — 3}\);
е) \(\frac{45}{|y| + 2}\).

а) \(\frac{3x — 8}{25}\)
\(x\) – любое число.

б) \(\frac{37}{2y + 7}\)
\(2y + 7 \neq 0\)
\(2y \neq -7\)
\(y \neq -\frac{7}{2}\).

в) \(\frac{9}{x^2 — 7x}\)
\(x^2 — 7x \neq 0\)
\(x(x — 7) \neq 0\)
\(x \neq 0, \quad x \neq 7\).

г) \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8}\)
\(y^2 + 8 \neq 0\)
\(y^2 \neq -8\) – корней нет.
\(y\) – любое число.

д) \(\frac{12}{|x| — 3}\)
\(|x| — 3 \neq 0\)
\(|x| \neq 3\)
\(x \neq \pm 3\).

е) \(\frac{45}{|y| + 2}\)
\(|y| + 2 \neq 0\)
\(|y| \neq -2\) – решения нет.
\(y\) – любое число.

а) Выражение \(\frac{3x — 8}{25}\) определено для всех значений \(x\), так как знаменатель равен 25 — это постоянное число, не равное нулю. При делении на число, отличное от нуля, нет ограничений на \(x\). Следовательно, \(x\) может принимать любое значение из множества всех действительных чисел. Это значит, что область определения функции не ограничена.

В данном случае нет необходимости проверять числитель, так как он не влияет на область определения дроби. Важным является только знаменатель, который не должен быть равен нулю. Поскольку \(25 \neq 0\), то дробь существует при любом \(x\). Таким образом, \(x\) — любое число.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{37}{2y + 7}\). Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. Запишем условие: \(2y + 7 \neq 0\). Решим это уравнение: \(2y \neq -7\), откуда \(y \neq -\frac{7}{2}\). Это значит, что при \(y = -\frac{7}{2}\) выражение не определено, а при всех остальных значениях \(y\) — определено.

Таким образом, область определения выражения — все числа, кроме \(y = -\frac{7}{2}\). Это исключение связано с тем, что в точке \(y = -\frac{7}{2}\) знаменатель обращается в ноль, что недопустимо в математике для определения дроби.

в) В выражении \(\frac{9}{x^2 — 7x}\) необходимо, чтобы знаменатель не был равен нулю. Запишем условие: \(x^2 — 7x \neq 0\). Вынесем \(x\) за скобки: \(x(x — 7) \neq 0\). Это означает, что ни один из множителей не должен быть равен нулю, то есть \(x \neq 0\) и \(x \neq 7\).

Следовательно, область определения — все числа, кроме \(0\) и \(7\). При этих значениях знаменатель обращается в ноль, и выражение становится неопределённым. Для всех остальных значений \(x\) дробь существует.

г) Рассмотрим \(\frac{2y + 5}{y^2 + 8}\). Знаменатель равен \(y^2 + 8\). Чтобы дробь была определена, необходимо \(y^2 + 8 \neq 0\). Но \(y^2\) — квадрат любого действительного числа, он всегда неотрицателен, а \(8\) — положительное число. Следовательно, сумма \(y^2 + 8\) всегда больше нуля и не может равняться нулю.

Это означает, что нет значений \(y\), при которых знаменатель обращается в ноль. Следовательно, область определения — множество всех действительных чисел, то есть \(y\) — любое число.

д) В выражении \(\frac{12}{|x| — 3}\) знаменатель — \(|x| — 3\). Для определения области определения необходимо исключить значения \(x\), при которых знаменатель равен нулю: \(|x| — 3 \neq 0\). Отсюда \(|x| \neq 3\).

Модуль \(x\) равен 3 при \(x = 3\) и \(x = -3\). Значит, при \(x = \pm 3\) выражение не определено. Для всех остальных значений \(x\) дробь существует.

е) Рассмотрим \(\frac{45}{|y| + 2}\). Знаменатель — \(|y| + 2\). Проверяем, может ли он быть равен нулю: \(|y| + 2 = 0\). Отсюда \(|y| = -2\).

Но модуль числа не может быть отрицательным, поэтому уравнение не имеет решений. Значит, знаменатель никогда не равен нулю, и выражение определено для всех значений \(y\).

Следовательно, область определения — все действительные числа \(y\).