ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 215 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Составьте какую-либо дробь с переменной \(x\), которая имеет смысл при всех значениях переменной, кроме:
a) \(x = 2\);
б) \(x = 0\) и \(x = 3\);
в) \(x = -3\) и \(x = 3\);
г) \(x = -\frac{1}{2}\).

а) \(x \neq 2\)
\(\frac{25}{x — 2}\).

б) \(x \neq 0, \quad x \neq 3\)
\(\frac{2x + 5}{x^2 — 3x} = \frac{2x + 5}{x(x — 3)}\).

в) \(x \neq \pm 3\)
\(\frac{98}{x^2 — 9} = \frac{98}{(x — 3)(x + 3)}\).

г) \(x \neq \pm \frac{1}{2}\)
\(\frac{54}{x^2 — \frac{1}{4}} = \frac{54}{\left(x — \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right)}\).

а) В данном выражении указано, что \(x \neq 2\), это связано с тем, что в знаменателе стоит выражение \(x — 2\). Чтобы дробь была определена, знаменатель не должен равняться нулю. Если \(x = 2\), то знаменатель станет нулём, и выражение будет неопределённым. Поэтому исключаем \(x = 2\) из области определения. Само выражение записывается как \(\frac{25}{x — 2}\).

Таким образом, условие \(x \neq 2\) гарантирует корректность выражения. При вычислении или подстановке значений в дробь необходимо учитывать это ограничение, чтобы избежать деления на ноль, что математически не определено.

б) Здесь область определения дроби определяется условиями \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\), так как знаменатель равен \(x^2 — 3x\). Разложим знаменатель на множители: \(x^2 — 3x = x(x — 3)\). Чтобы знаменатель не был равен нулю, ни один из множителей не должен равняться нулю, следовательно, \(x \neq 0\) и \(x \neq 3\). Само выражение записывается как \(\frac{2x + 5}{x(x — 3)}\).

Учитывая эти ограничения, мы можем работать с дробью, не боясь деления на ноль. Если бы \(x\) был равен 0 или 3, знаменатель обнулялся бы, и выражение перестало бы существовать. Это важный момент при решении задач с дробями.

в) В выражении \( \frac{98}{x^2 — 9} \) область определения ограничена значениями \(x \neq \pm 3\), так как знаменатель — разность квадратов: \(x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)\). При \(x = 3\) или \(x = -3\) знаменатель становится нулём, что недопустимо. Поэтому исключаем эти значения из области определения. Запись дроби с разложенным знаменателем: \(\frac{98}{(x — 3)(x + 3)}\).

Это разложение помогает понять, почему именно эти значения \(x\) нельзя подставлять. Знание таких разложений облегчает анализ области определения и упрощает работу с выражением.

г) В данном случае знаменатель имеет вид \(x^2 — \frac{1}{4}\), что является разностью квадратов и раскладывается в произведение \(\left(x — \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right)\). Чтобы дробь была определена, \(x\) не должно принимать значения, при которых знаменатель равен нулю, то есть \(x \neq \pm \frac{1}{2}\). Само выражение записывается как \(\frac{54}{\left(x — \frac{1}{2}\right)\left(x + \frac{1}{2}\right)}\).

Это разложение позволяет чётко определить исключённые значения из области определения. При работе с такими выражениями важно всегда проверять знаменатель и исключать значения, при которых он обращается в ноль, чтобы сохранить корректность дроби.