ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 216 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Укажите область определения функции:
a) \(y = \frac{1}{x — 2}\);
б) \(y = \frac{3x}{x + 5}\);
в) \(y = \frac{7x + 1}{2x — 6}\).

а) \( y = \frac{1}{x — 2} \)
\( x — 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \)
\( (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \).

б) \( y = \frac{3x}{x + 5} \)
\( x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq -5 \)
\( (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty) \).

в) \( y = \frac{7x + 1}{2x — 6} \)
\( 2x — 6 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 6 \Rightarrow x \neq 3 \)
\( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).

а) Рассмотрим функцию \( y = \frac{1}{x — 2} \). В знаменателе стоит выражение \( x — 2 \), которое не может быть равно нулю, так как деление на ноль в математике не определено. Поэтому необходимо найти все значения \( x \), при которых знаменатель не равен нулю: \( x — 2 \neq 0 \). Решая это неравенство, получаем \( x \neq 2 \).

Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, кроме точки \( x = 2 \), где функция не определена. В интервале \( (-\infty; 2) \) функция существует и принимает значения, а также в интервале \( (2; +\infty) \). Следовательно, область определения записывается как объединение двух промежутков: \( (-\infty; 2) \cup (2; +\infty) \).

б) Функция задана выражением \( y = \frac{3x}{x + 5} \). Аналогично предыдущему случаю, необходимо определить, при каких значениях \( x \) знаменатель \( x + 5 \) не равен нулю. Условие: \( x + 5 \neq 0 \), откуда следует \( x \neq -5 \).

Это означает, что функция определена для всех значений \( x \), кроме \( x = -5 \), где происходит разрыв из-за деления на ноль. Значения \( x \) разбиваются на два интервала: \( (-\infty; -5) \) и \( (-5; +\infty) \), на которых функция существует. Область определения функции записывается как \( (-\infty; -5) \cup (-5; +\infty) \).

в) Рассмотрим функцию \( y = \frac{7x + 1}{2x — 6} \). Чтобы определить область определения, нужно исключить те значения \( x \), при которых знаменатель равен нулю. Запишем условие: \( 2x — 6 \neq 0 \). Решая, получаем \( 2x \neq 6 \), откуда \( x \neq 3 \).

Итак, функция определена для всех \( x \), кроме \( x = 3 \), где знаменатель обращается в ноль. Отсюда область определения разбивается на два интервала: \( (-\infty; 3) \) и \( (3; +\infty) \), объединение которых и есть область определения функции: \( (-\infty; 3) \cup (3; +\infty) \).