Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 218 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Сократите дробь:
a) \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2}\);
б) \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3}\);
в) \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^2}\);
г) \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2}\).
а) \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2} = \frac{(3a — 3c)^2}{(3a — 3c)(3a + 3c)} = \frac{3a — 3c}{3a + 3c}\)
б) \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(a — 3)^2 (a + 3)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 — a)^2 (3 + a)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 + a)^2}{3 — a}\)
в) \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^3} = \frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 4y^2)} = \frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)} =\)
\(= \frac{- (4y^2 + 2y + 1)}{y(1 + 2y)}\)
г) \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2} = \frac{5a(a — 0,6b)}{(a — 0,6b)(a + 0,6b)} = \frac{5a}{a + 0,6b}\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2}\). В знаменателе замечаем разность квадратов: \(9a^2 — 9c^2 = (3a)^2 — (3c)^2\), что раскладывается как \((3a — 3c)(3a + 3c)\). Тогда исходная дробь принимает вид \(\frac{(3a — 3c)^2}{(3a — 3c)(3a + 3c)}\). Здесь можно сократить общий множитель \((3a — 3c)\) в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю, и остаётся \(\frac{3a — 3c}{3a + 3c}\).
Таким образом, сокращение произведено за счёт разложения знаменателя на множители и применения правила сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итоговый результат — упрощённая дробь, где степень в числителе уменьшилась на единицу после сокращения.
б) Рассмотрим выражение \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3}\). В числителе видим квадрат разности квадратов: \(a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3)\), значит \((a^2 — 9)^2 = (a — 3)^2 (a + 3)^2\). Знаменатель — это \((3 — a)^3\). Обратим внимание, что \((a — 3) = -(3 — a)\), поэтому \((a — 3)^2 = (3 — a)^2\), а значит числитель можно переписать как \((3 — a)^2 (a + 3)^2\).
Подставляя это в дробь, получаем \(\frac{(3 — a)^2 (a + 3)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 — a)^2 (3 + a)^2}{(3 — a)^3}\). Теперь сокращаем \((3 — a)^2\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{(3 + a)^2}{3 — a}\). Таким образом, дробь упрощена за счёт разложения и замены, а затем сокращения степеней одинакового множителя.
в) В выражении \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^3}\) сначала выделим общий множитель в знаменателе: \(y — 4y^3 = y(1 — 4y^2)\). В числителе заметим, что \(8y^3 — 1 = (2y)^3 — 1^3\) — разность кубов, которую раскладываем по формуле: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a=2y\), \(b=1\). Значит числитель равен \((2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)\).
Далее знаменатель \(y(1 — 4y^2)\) раскладываем как \(y(1 — 2y)(1 + 2y)\), поскольку \(1 — 4y^2 = (1 — 2y)(1 + 2y)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)}\). Обратим внимание, что \(2y — 1 = — (1 — 2y)\), поэтому выражение можно переписать как \(\frac{-(1 — 2y)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)}\).
Теперь сокращаем множитель \((1 — 2y)\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{-(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 + 2y)}\). Это и есть окончательное упрощение исходного выражения.
г) В дроби \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2}\) рассмотрим числитель: \(5a^2 — 3ab = 5a^2 — 3ab\), можно вынести общий множитель \(a\), получаем \(a(5a — 3b)\). В знаменателе видим разность квадратов: \(a^2 — 0,36b^2 = (a — 0,6b)(a + 0,6b)\), так как \(0,36 = (0,6)^2\).
Если обратить внимание на числитель, его можно представить как \(5a(a — 0,6b)\), потому что \(5a — 3b = 5a — 5 \times 0,6b = 5(a — 0,6b)\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{5a(a — 0,6b)}{(a — 0,6b)(a + 0,6b)}\).
Сокращая общий множитель \((a — 0,6b)\), получаем \(\frac{5a}{a + 0,6b}\). Это окончательное упрощение, достигнутое за счёт разложения числителя и знаменателя на множители и последующего сокращения.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!