ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 218 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2}\);
б) \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3}\);
в) \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^2}\);
г) \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2}\).

а) \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2} = \frac{(3a — 3c)^2}{(3a — 3c)(3a + 3c)} = \frac{3a — 3c}{3a + 3c}\)

б) \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(a — 3)^2 (a + 3)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 — a)^2 (3 + a)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 + a)^2}{3 — a}\)

в) \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^3} = \frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 4y^2)} = \frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)} =\)
\(= \frac{- (4y^2 + 2y + 1)}{y(1 + 2y)}\)

г) \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2} = \frac{5a(a — 0,6b)}{(a — 0,6b)(a + 0,6b)} = \frac{5a}{a + 0,6b}\)

а) Начинаем с выражения \(\frac{(3a — 3c)^2}{9a^2 — 9c^2}\). В знаменателе замечаем разность квадратов: \(9a^2 — 9c^2 = (3a)^2 — (3c)^2\), что раскладывается как \((3a — 3c)(3a + 3c)\). Тогда исходная дробь принимает вид \(\frac{(3a — 3c)^2}{(3a — 3c)(3a + 3c)}\). Здесь можно сократить общий множитель \((3a — 3c)\) в числителе и знаменателе, так как он не равен нулю, и остаётся \(\frac{3a — 3c}{3a + 3c}\).

Таким образом, сокращение произведено за счёт разложения знаменателя на множители и применения правила сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе. Итоговый результат — упрощённая дробь, где степень в числителе уменьшилась на единицу после сокращения.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{(a^2 — 9)^2}{(3 — a)^3}\). В числителе видим квадрат разности квадратов: \(a^2 — 9 = (a — 3)(a + 3)\), значит \((a^2 — 9)^2 = (a — 3)^2 (a + 3)^2\). Знаменатель — это \((3 — a)^3\). Обратим внимание, что \((a — 3) = -(3 — a)\), поэтому \((a — 3)^2 = (3 — a)^2\), а значит числитель можно переписать как \((3 — a)^2 (a + 3)^2\).

Подставляя это в дробь, получаем \(\frac{(3 — a)^2 (a + 3)^2}{(3 — a)^3} = \frac{(3 — a)^2 (3 + a)^2}{(3 — a)^3}\). Теперь сокращаем \((3 — a)^2\) в числителе и знаменателе, остаётся \(\frac{(3 + a)^2}{3 — a}\). Таким образом, дробь упрощена за счёт разложения и замены, а затем сокращения степеней одинакового множителя.

в) В выражении \(\frac{8y^3 — 1}{y — 4y^3}\) сначала выделим общий множитель в знаменателе: \(y — 4y^3 = y(1 — 4y^2)\). В числителе заметим, что \(8y^3 — 1 = (2y)^3 — 1^3\) — разность кубов, которую раскладываем по формуле: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\), где \(a=2y\), \(b=1\). Значит числитель равен \((2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)\).

Далее знаменатель \(y(1 — 4y^2)\) раскладываем как \(y(1 — 2y)(1 + 2y)\), поскольку \(1 — 4y^2 = (1 — 2y)(1 + 2y)\). Теперь дробь выглядит так: \(\frac{(2y — 1)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)}\). Обратим внимание, что \(2y — 1 = — (1 — 2y)\), поэтому выражение можно переписать как \(\frac{-(1 — 2y)(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 — 2y)(1 + 2y)}\).

Теперь сокращаем множитель \((1 — 2y)\) в числителе и знаменателе, получаем \(\frac{-(4y^2 + 2y + 1)}{y(1 + 2y)}\). Это и есть окончательное упрощение исходного выражения.

г) В дроби \(\frac{5a^2 — 3ab}{a^2 — 0,36b^2}\) рассмотрим числитель: \(5a^2 — 3ab = 5a^2 — 3ab\), можно вынести общий множитель \(a\), получаем \(a(5a — 3b)\). В знаменателе видим разность квадратов: \(a^2 — 0,36b^2 = (a — 0,6b)(a + 0,6b)\), так как \(0,36 = (0,6)^2\).

Если обратить внимание на числитель, его можно представить как \(5a(a — 0,6b)\), потому что \(5a — 3b = 5a — 5 \times 0,6b = 5(a — 0,6b)\). Тогда дробь принимает вид \(\frac{5a(a — 0,6b)}{(a — 0,6b)(a + 0,6b)}\).

Сокращая общий множитель \((a — 0,6b)\), получаем \(\frac{5a}{a + 0,6b}\). Это окончательное упрощение, достигнутое за счёт разложения числителя и знаменателя на множители и последующего сокращения.