ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 219 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Сократите дробь:
a) \(\frac{a^2 — 4a + 4}{a^2 + ab — 2a — 2b}\)
б) \(\frac{6x^2 — 3xy + 4x — 2y}{9x^2 + 12x + 4}\)
в) \(\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}\)
г) \(\frac{27x^3 — y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}\)

а) \(\frac{a^2 — 4a + 4}{a^2 + ab — 2a — 2b} = \frac{(a — 2)^2}{a(a + b) — 2(a + b)} = \frac{(a — 2)^2}{(a + b)(a — 2)} = \frac{a — 2}{a + b}\);

б) \(\frac{6x^2 — 3xy + 4x — 2y}{9x^2 + 12x + 4} = \frac{3x(2x — y) + 2(2x — y)}{(3x + 2)^2} = \frac{(2x — y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2} = \frac{2x — y}{3x + 2}\);

в) \(\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3} = \frac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)} = \frac{a + 2b}{a^2 — 2ab + 4b^2}\);

г) \(\frac{27x^3 — y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2} = \frac{(3x — y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)} = \frac{3x — y}{2}\).

а) Начинаем с выражения \(\frac{a^2 — 4a + 4}{a^2 + ab — 2a — 2b}\). В числителе видим квадрат разности: \(a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2\). В знаменателе группируем слагаемые так: \(a^2 + ab — 2a — 2b = a(a + b) — 2(a + b)\). Это позволяет вынести общий множитель \((a + b)\), получаем \((a + b)(a — 2)\). Теперь дробь принимает вид \(\frac{(a — 2)^2}{(a + b)(a — 2)}\).

Далее сокращаем общий множитель \((a — 2)\) в числителе и знаменателе, так как \(a \neq 2\), и получаем \(\frac{a — 2}{a + b}\). Таким образом, исходное выражение упрощается до дроби с линейными выражениями в числителе и знаменателе.

б) В выражении \(\frac{6x^2 — 3xy + 4x — 2y}{9x^2 + 12x + 4}\) сначала сгруппируем члены в числителе: \(6x^2 — 3xy + 4x — 2y = 3x(2x — y) + 2(2x — y)\). Здесь выделен общий множитель \((2x — y)\), что позволяет переписать числитель как \((2x — y)(3x + 2)\). Знаменатель — полный квадрат: \(9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2\).

Подставляем эти выражения обратно в дробь: \(\frac{(2x — y)(3x + 2)}{(3x + 2)^2}\). Сокращаем общий множитель \((3x + 2)\), при условии, что он не равен нулю, и получаем итог: \(\frac{2x — y}{3x + 2}\).

в) Рассмотрим дробь \(\frac{a^2 + 4ab + 4b^2}{a^3 + 8b^3}\). В числителе узнаём полный квадрат: \(a^2 + 4ab + 4b^2 = (a + 2b)^2\). Знаменатель раскладываем по формуле суммы кубов: \(a^3 + 8b^3 = (a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)\).

Подставляя, получаем \(\frac{(a + 2b)^2}{(a + 2b)(a^2 — 2ab + 4b^2)}\). Сокращаем общий множитель \((a + 2b)\), если он не равен нулю, и остаётся \(\frac{a + 2b}{a^2 — 2ab + 4b^2}\).

г) В выражении \(\frac{27x^3 — y^3}{18x^2 + 6xy + 2y^2}\) числитель раскладываем по формуле разности кубов: \(27x^3 — y^3 = (3x — y)(9x^2 + 3xy + y^2)\). Знаменатель можно вынести общий множитель 2: \(18x^2 + 6xy + 2y^2 = 2(9x^2 + 3xy + y^2)\).

Подставляем в дробь: \(\frac{(3x — y)(9x^2 + 3xy + y^2)}{2(9x^2 + 3xy + y^2)}\). Сокращаем общий множитель \(9x^2 + 3xy + y^2\), при условии, что он не равен нулю, и получаем \(\frac{3x — y}{2}\).