ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 22 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Преобразуйте в многочлен:
а) \((2a + 3)(2a — 3)\);
б) \((y — 5b)(y + 5b)\);
в) \((0,8x + y)(y — 0,8x)\);
г) \((b + 0,5)^2\);
д) \((a — 2x)^2\);
е) \((ab — 1)^2\).

а) \((2a + 3)(2a — 3) = 4a^2 — 9\) — это разность квадратов, так как \((x + y)(x — y) = x^2 — y^2\).

б) \((y — 5b)(y + 5b) = y^2 — 25b^2\) — тоже разность квадратов.

в) \((0,8x + y)(y — 0,8x) = y^2 — 0,64x^2\) — разность квадратов, где \(0,8^2 = 0,64\).

г) \((b + 0,5)^2 = b^2 + b + 0,25\) — квадрат двучлена по формуле \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\), здесь \(2 \cdot b \cdot 0,5 = b\).

д) \((a — 2x)^2 = a^2 — 4ax + 4x^2\) — квадрат разности.

е) \((ab — 1)^2 = a^2b^2 — 2ab + 1\) — квадрат разности с произведением \(ab\).

а) В данном выражении используется формула разности квадратов, которая гласит: произведение суммы и разности одинаковых выражений равно разности квадратов этих выражений. Здесь \(2a + 3\) и \(2a — 3\) — это сумма и разность, соответственно. Чтобы применить формулу, возводим первый множитель \(2a\) в квадрат, получаем \(4a^2\), затем возводим второй множитель \(3\) в квадрат, получаем \(9\). По формуле разности квадратов выражение преобразуется в \(4a^2 — 9\).

Этот метод позволяет быстро упростить произведение двух выражений без раскрытия скобок по формуле умножения двучлена на двучлен. Важно помнить, что знак между квадратами меняется на противоположный: если в скобках стоит плюс, то в результате будет минус, и наоборот.

б) Здесь также используется формула разности квадратов, где множители \(y — 5b\) и \(y + 5b\) — сумма и разность. Квадрат первого слагаемого равен \(y^2\), квадрат второго — \(25b^2\) (потому что \(5b\) возводится в квадрат как \(5^2 \cdot b^2\)). Результат сразу записывается как \(y^2 — 25b^2\), что соответствует формуле \((x — y)(x + y) = x^2 — y^2\).

Этот способ позволяет упростить выражение без необходимости раскрывать скобки по отдельности, что экономит время и снижает вероятность ошибок при вычислениях.

в) В этом примере множители \(0,8x + y\) и \(y — 0,8x\) также образуют сумму и разность. Возводим \(y\) в квадрат — получаем \(y^2\). Возводим \(0,8x\) в квадрат, учитывая, что \(0,8^2 = 0,64\), и получаем \(0,64x^2\). По формуле разности квадратов результат будет \(y^2 — 0,64x^2\).

Здесь важно заметить, что порядок слагаемых в скобках не влияет на итоговый результат, так как формула работает с суммой и разностью одних и тех же выражений. Это позволяет применять формулу к более сложным выражениям с коэффициентами.

г) В случае \((b + 0,5)^2\) используется формула квадрата суммы: \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Возводим \(b\) в квадрат — получаем \(b^2\). Затем вычисляем удвоенное произведение: \(2 \cdot b \cdot 0,5 = b\). И, наконец, возводим \(0,5\) в квадрат, получая \(0,25\). Складывая все части, получаем \(b^2 + b + 0,25\).

При раскрытии квадратов важно учитывать все три слагаемых, чтобы не пропустить средний член, который отвечает за взаимодействие между двумя слагаемыми в квадрате.

д) Выражение \((a — 2x)^2\) раскрывается по формуле квадрата разности: \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\). Возводим \(a\) в квадрат — \(a^2\). Затем вычисляем удвоенное произведение \(2 \cdot a \cdot 2x = 4ax\), знак минус сохраняется, так как в скобках стоит разность. Возводим \(2x\) в квадрат — \(4x^2\). В итоге получаем \(a^2 — 4ax + 4x^2\).

Этот способ раскрытия квадратов позволяет быстро получить итоговое выражение, избегая ошибок при умножении каждого слагаемого на другое.

е) В выражении \((ab — 1)^2\) также применяется формула квадрата разности. Возводим \(ab\) в квадрат, получая \(a^2b^2\). Затем вычисляем удвоенное произведение: \(2 \cdot ab \cdot 1 = 2ab\), знак минус сохраняется. Возводим 1 в квадрат — 1. Складывая все части, получаем \(a^2b^2 — 2ab + 1\).

В таких выражениях важно видеть произведение как единое целое, чтобы правильно возводить в квадрат и вычислять средний член.