ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 220 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Выполните сокращение:
a) \(\frac{b^{14} — b^7 + 1}{b^{21} + 1}\)
б) \(\frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}\)
в) \(\frac{x(y — z) — y(x — z)}{x(y — z)^2 — y(x — z)^2}\)
г) \(\frac{a(b + 1)^2 — b(a + 1)^2}{a(b + 1) — b(a + 1)}\)

а) \( \frac{b^{14} — b^7 + 1}{b^{21} + 1} = \frac{(b^7)^2 — b^7 + 1}{(b^7)^3 + 1} = \frac{(b^7)^2 — b^7 + 1}{(b^7 + 1)((b^7)^2 — b^7 + 1)} = \frac{1}{b^7 + 1} \)

б) \( \frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}} = \frac{(x^{11} — 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)} = \frac{x^{11} — 1}{x^{11}} \)

в) \( \frac{x(y — z) — y(x — z)}{x(y — z)^2 — y(x — z)^2} = \frac{xy — xz — yx + yz}{x(y^2 — 2yz + z^2) — y(x^2 — 2xz + z^2)} = \)
\( = \frac{yz — xz}{xy^2 — 2xyz + xz^2 — x^2y + 2xyz — yz^2} = \frac{z(y — x)}{xy^2 + xz^2 — x^2y — yz^2} = \)
\( = \frac{z(y — x)}{xy(y — x) — z^2(y — x)} = \frac{z(y — x)}{(y — x)(xy — z^2)} = \frac{z}{xy — z^2} \)

г) \( \frac{a(b + 1)^2 — b(a + 1)^2}{a(b + 1) — b(a + 1)} = \frac{a(b^2 + 2b + 1) — b(a^2 + 2a + 1)}{ab + a — ab — b} = \)
\( = \frac{ab^2 + 2ab + a — ba^2 — 2ab — b}{a — b} = \frac{ab^2 + a — ba^2 — b}{a — b} = \)
\( = \frac{-ab(a — b) + (a — b)}{a — b} = \frac{(a — b)(1 — ab)}{a — b} = 1 — ab \)

а) Рассмотрим выражение \( \frac{b^{14} — b^7 + 1}{b^{21} + 1} \). Чтобы упростить дробь, заметим, что степени в числителе и знаменателе связаны с \(b^7\). Перепишем степени через \(b^7\): числитель — это \( (b^7)^2 — b^7 + 1 \), а знаменатель — \( (b^7)^3 + 1 \). Теперь знаменатель можно представить в виде произведения по формуле суммы кубов: \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 — ab + b^2) \), где \(a = b^7\), \(b = 1\). Значит, знаменатель равен \( (b^7 + 1)((b^7)^2 — b^7 + 1) \). Видим, что числитель совпадает с одним из множителей знаменателя, а именно с \( (b^7)^2 — b^7 + 1 \). Следовательно, выражение можно сократить, и результат будет \( \frac{1}{b^7 + 1} \).

б) В выражении \( \frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}} \) также применим разложение числителя. Числитель можно представить как разность степеней: \( x^{33} — 1 = (x^{11} — 1)(x^{22} + x^{11} + 1) \), так как \(x^{33} — 1\) — это разность кубов \( (x^{11})^3 — 1^3 \). Знаменатель содержит сумму \( x^{33} + x^{22} + x^{11} \), которую можно вынести за скобки: \( x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1) \). После этого сокращаем одинаковый множитель \( x^{22} + x^{11} + 1 \) в числителе и знаменателе, получая \( \frac{x^{11} — 1}{x^{11}} \). Таким образом, исходное выражение упрощается до дроби, где числитель — разность степеней, а знаменатель — степень \(x\).

в) Рассмотрим дробь \( \frac{x(y — z) — y(x — z)}{x(y — z)^2 — y(x — z)^2} \). В числителе раскроем скобки, получим \( xy — xz — yx + yz \). Сокращая \( xy \) и \( yx \), которые равны, останется \( yz — xz \). В знаменателе раскроем квадраты: \( (y — z)^2 = y^2 — 2yz + z^2 \) и \( (x — z)^2 = x^2 — 2xz + z^2 \). Подставим эти выражения и раскроем скобки, получая \( x(y^2 — 2yz + z^2) — y(x^2 — 2xz + z^2) \). Раскрывая скобки, получим сумму членов \( xy^2 — 2xyz + xz^2 — x^2y + 2xyz — yz^2 \). Заметим, что члены \( -2xyz \) и \( +2xyz \) взаимно уничтожаются. Итоговый знаменатель — \( xy^2 + xz^2 — x^2y — yz^2 \). Далее вынесем общий множитель и группируем: \( xy(y — x) — z^2(y — x) \), что равно \( (y — x)(xy — z^2) \). Числитель можно переписать как \( z(y — x) \). Таким образом, дробь упрощается до \( \frac{z(y — x)}{(y — x)(xy — z^2)} \), где сокращаем \( y — x \), получая окончательный ответ \( \frac{z}{xy — z^2} \).

г) В выражении \( \frac{a(b + 1)^2 — b(a + 1)^2}{a(b + 1) — b(a + 1)} \) сначала раскроем квадраты в числителе: \( (b + 1)^2 = b^2 + 2b + 1 \), \( (a + 1)^2 = a^2 + 2a + 1 \). Подставим эти выражения: числитель становится \( a(b^2 + 2b + 1) — b(a^2 + 2a + 1) \). Раскроем скобки: \( ab^2 + 2ab + a — ba^2 — 2ab — b \). Заметим, что \( 2ab \) и \( -2ab \) взаимно уничтожаются, остается \( ab^2 + a — ba^2 — b \). Знаменатель равен \( ab + a — ab — b \), что сокращается до \( a — b \). Теперь сгруппируем числитель: \( ab^2 — ba^2 + a — b = ab^2 — a^2b + a — b \). Вынесем общий множитель \( (a — b) \), перепишем как \( -ab(a — b) + (a — b) \). Следовательно, числитель равен \( (a — b)(1 — ab) \). После сокращения на \( a — b \) получаем \( 1 — ab \). Это и есть окончательный результат упрощения.