ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 221 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если в дроби \(\frac{3y^2 + 5xy}{2 — 24x^2}\) переменные \(x\) и \(y\) заменить соответственно на \(kx\) и \(ky\), где \(k \neq 0\), то получится дробь, тождественно равная первоначальной.

\( \frac{x^2 — 2y^2}{3y^2 + 5xy} = \frac{(kx)^2 — 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} = \frac{k^2 x^2 — 2k^2 y^2}{3k^2 y^2 + 5k^2 xy} = \frac{k^2 (x^2 — 2y^2)}{k^2 (3y^2 + 5xy)} = \frac{x^2 — 2y^2}{3y^2 + 5xy} \Rightarrow \text{верно.} \)

\( \frac{x^2 — 2y^2}{3y^2 + 5xy} = \frac{(kx)^2 — 2(ky)^2}{3(ky)^2 + 5(kx)(ky)} \) — в этом выражении мы видим, что числитель и знаменатель исходной дроби умножены на квадраты и произведения выражений с множителем \(k\). Для числителя раскрываем степени: \( (kx)^2 = k^2 x^2 \), \( (ky)^2 = k^2 y^2 \), поэтому числитель становится \( k^2 x^2 — 2 k^2 y^2 \). Аналогично для знаменателя: \( 3 (ky)^2 = 3 k^2 y^2 \), а \( 5 (kx)(ky) = 5 k^2 x y \). Таким образом, знаменатель принимает вид \( 3 k^2 y^2 + 5 k^2 x y \).

Далее, учитывая, что и числитель, и знаменатель содержат общий множитель \( k^2 \), можно вынести его за скобки: \( \frac{k^2 x^2 — 2 k^2 y^2}{3 k^2 y^2 + 5 k^2 x y} = \frac{k^2 (x^2 — 2 y^2)}{k^2 (3 y^2 + 5 x y)} \). Поскольку множитель \( k^2 \) одинаковый и в числителе, и в знаменателе, он сокращается, что приводит нас обратно к исходному выражению: \( \frac{x^2 — 2 y^2}{3 y^2 + 5 x y} \).

Таким образом, преобразование не изменило значение дроби, что и подтверждает правильность данного равенства. Важно понимать, что при умножении числителя и знаменателя на одно и то же выражение (в данном случае \( k^2 \)) дробь остаётся неизменной. Это основной принцип преобразования дробей, который здесь применён для проверки корректности равенства.