ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 222 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Известно, что \(a — b = 9\). Найдите значение дроби:
a) \(\frac{36}{(a — b)^2}\)
б) \(\frac{108}{(b — a)^2}\)
в) \(\frac{(5a — 5b)^2}{45}\)
г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 — b^3}\)

а) \(\frac{36}{(a — b)^2} = \frac{36}{9^2} = \frac{36}{81} = \frac{4}{9}\).

б) \(\frac{108}{(b — a)^2} = \frac{108}{(-9)^2} = \frac{108}{81} = \frac{4}{3} = 1 \frac{1}{3}\).

в) \(\frac{(5a — 5b)^2}{45} = \frac{25(a — b)^2}{45} = \frac{25 \cdot 9^2}{45} = \frac{25 \cdot 81}{45} = 5 \cdot 9 = 45\).

г) \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 — b^3} = \frac{a^2 + ab + b^2}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)} = \frac{1}{a — b} = \frac{1}{9}\).

а) Начинаем с выражения \(\frac{36}{(a — b)^2}\). По условию дано, что \(a — b = 9\). Подставляем это значение в знаменатель: \((a — b)^2 = 9^2 = 81\). Таким образом, исходное выражение принимает вид \(\frac{36}{81}\). Чтобы упростить дробь, делим числитель и знаменатель на общий делитель 9: \(\frac{36 \div 9}{81 \div 9} = \frac{4}{9}\). Получили окончательный ответ \(\frac{4}{9}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{108}{(b — a)^2}\). Заметим, что \(b — a = -(a — b)\), а \(a — b = 9\), значит \(b — a = -9\). Возводим в квадрат: \((-9)^2 = 81\). Подставляем в дробь: \(\frac{108}{81}\). Упрощаем дробь, деля числитель и знаменатель на 27: \(\frac{108 \div 27}{81 \div 27} = \frac{4}{3}\). Преобразуем неправильную дробь в смешанное число: \(1 \frac{1}{3}\).

в) Выражение \(\frac{(5a — 5b)^2}{45}\) можно упростить, вынеся общий множитель из скобок. Заметим, что \(5a — 5b = 5(a — b)\), значит \((5a — 5b)^2 = 25(a — b)^2\). Подставляем это в дробь: \(\frac{25(a — b)^2}{45}\). Известно, что \(a — b = 9\), значит \((a — b)^2 = 81\). Подставляем: \(\frac{25 \cdot 81}{45}\). Считаем числитель: \(25 \cdot 81 = 2025\). Делим на 45: \(\frac{2025}{45} = 45\). Получаем ответ 45.

г) Рассмотрим выражение \(\frac{a^2 + ab + b^2}{a^3 — b^3}\). Знаменатель раскладываем по формуле разности кубов: \(a^3 — b^3 = (a — b)(a^2 + ab + b^2)\). Тогда дробь становится \(\frac{a^2 + ab + b^2}{(a — b)(a^2 + ab + b^2)}\). Сокращаем одинаковые множители \(a^2 + ab + b^2\) в числителе и знаменателе, получая \(\frac{1}{a — b}\). Подставляем \(a — b = 9\), итог: \(\frac{1}{9}\).