ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 223 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если \(\frac{a}{b} — \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то \(a — b = c\).

\( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \)
\( ac^2 = ab^2 \)
\( c^2 = b^2 \)
\( c = b. \)

\( \frac{a}{b} = \frac{c}{a} = \frac{b}{c} \)
\( a^2 b = c^2 b \)
\( a^2 = c^2 \)
\( a = c. \)

\( \frac{c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \)
\( b^2 c = a^2 c \)
\( b^2 = a^2 \)
\( b = a. \)

\( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \)
Начинаем с равенства трёх дробей, где числители и знаменатели перемешаны. Из первого равенства \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \) можно получить уравнение, умножив крест-накрест: \( a \cdot c = b \cdot b \), что даёт \( ac = b^2 \). Возводя обе части уравнения в квадрат, получаем \( ac^2 = ab^2 \). Это равенство показывает связь между степенями переменных. Далее из второго равенства \( \frac{b}{c} = \frac{c}{a} \) аналогично выводим \( bc = c a \), что приводит к \( c^2 = b^2 \). Отсюда следует, что \( c = b \), учитывая равенство по модулю и предполагая положительные значения.

\( \frac{a}{b} = \frac{c}{a} = \frac{b}{c} \)
В этом случае, исходя из первого равенства \( \frac{a}{b} = \frac{c}{a} \), умножая крест-накрест, получаем \( a^2 = b c \). Аналогично, из второго равенства \( \frac{c}{a} = \frac{b}{c} \) получаем \( c^2 = a b \). Объединяя эти уравнения, можно вывести, что \( a^2 b = c^2 b \), что ведёт к \( a^2 = c^2 \). Следовательно, \( a = c \) при условии положительности переменных. Это показывает взаимосвязь между этими переменными через равенство их квадратов.

\( \frac{c}{a} = \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \)
Рассмотрим теперь равенство \( \frac{c}{a} = \frac{a}{b} \). Перемножая крест-накрест, имеем \( cb = a^2 \). Из второго равенства \( \frac{a}{b} = \frac{b}{c} \) получаем \( a c = b^2 \). В итоге, из этих уравнений следует \( b^2 c = a^2 c \), что приводит к \( b^2 = a^2 \). Отсюда следует, что \( b = a \), предполагая положительные значения. Таким образом, все переменные связаны через равенство своих квадратов, что позволяет установить соответствия между ними.