Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 224 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
a) \(\frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3}\)
б) \(\frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8}\)
в) \(\frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2}\)
г) \(\frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} — \frac{2y — y^2}{y^2 — x^2}\)
а) \( \frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3} = \frac{x^2 — 2x — 4x + 9}{x — 3} = \frac{x^2 — 6x + 9}{x — 3} = \frac{(x — 3)^2}{x — 3} = x — 3 \)
б) \( \frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8} = \frac{y^2 — 10 — 54}{y — 8} = \frac{y^2 — 64}{y — 8} = \frac{(y — 8)(y + 8)}{y — 8} = y + 8 \)
в) \( \frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2} = \frac{a^2}{a^2 — b^2} — \frac{b^2}{a^2 — b^2} = \frac{a^2 — b^2}{a^2 — b^2} = 1 \)
г) \( \frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} — \frac{2y — y^2}{y^2 — x^2} = \frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} + \frac{2y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{x^2 — 2x + 2y — y^2}{x^2 — y^2} = \frac{x^2 — 2x + 2y — y^2}{x^2 — y^2} \)
д) \( \frac{(x^2 — y^2) — 2(x — y)}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)(x + y) — 2(x — y)}{x^2 — y^2} = \frac{(x — y)(x + y — 2)}{(x — y)(x + y)} = \frac{x + y — 2}{x + y} \)
а) В данном выражении мы имеем разность двух дробей с одинаковым знаменателем \(x — 3\). Чтобы упростить выражение, сначала объединим числители, так как знаменатели одинаковы: \( \frac{x^2 — 2x}{x — 3} — \frac{4x — 9}{x — 3} = \frac{x^2 — 2x — (4x — 9)}{x — 3} \). В числителе раскрываем скобки со знаком минус: \(x^2 — 2x — 4x + 9 = x^2 — 6x + 9\). Теперь числитель представляет собой квадрат двучлена, так как \(x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2\).
Далее, подставляем полученный квадрат в дробь: \( \frac{(x — 3)^2}{x — 3} \). Поскольку \(x — 3 \neq 0\), можно сократить на \(x — 3\), что оставляет нам просто \(x — 3\). Таким образом, исходное выражение упрощается до линейного выражения \(x — 3\).
б) Здесь мы складываем две дроби с одинаковым знаменателем \(y — 8\). Для этого объединяем числители: \( \frac{y^2 — 10}{y — 8} — \frac{54}{y — 8} = \frac{y^2 — 10 — 54}{y — 8} = \frac{y^2 — 64}{y — 8} \). В числителе видим разность квадратов: \(y^2 — 64 = (y — 8)(y + 8)\).
Теперь можно сократить дробь, так как знаменатель равен \(y — 8\), и при условии, что \(y \neq 8\), сокращаем: \( \frac{(y — 8)(y + 8)}{y — 8} = y + 8 \). Таким образом, выражение упрощается до \(y + 8\).
в) В этом пункте рассматриваем сумму двух дробей: \( \frac{a^2}{a^2 — b^2} + \frac{b^2}{b^2 — a^2} \). Обратим внимание, что знаменатель второй дроби можно переписать как \(-(a^2 — b^2)\), так как \(b^2 — a^2 = -(a^2 — b^2)\). Значит, вторая дробь равна \( -\frac{b^2}{a^2 — b^2} \).
Теперь складываем дроби с одинаковым знаменателем \(a^2 — b^2\): \( \frac{a^2}{a^2 — b^2} — \frac{b^2}{a^2 — b^2} = \frac{a^2 — b^2}{a^2 — b^2} = 1 \). При условии, что знаменатель не равен нулю, получаем результат равный 1.
г) Рассмотрим выражение \( \frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} — \frac{2y — y^2}{y^2 — x^2} \). Знаменатель второй дроби \(y^2 — x^2\) равен \(-(x^2 — y^2)\), поэтому вторая дробь переписывается с противоположным знаком: \( -\frac{2y — y^2}{x^2 — y^2} \).
Складываем дроби с общим знаменателем \(x^2 — y^2\): \( \frac{x^2 — 2x}{x^2 — y^2} + \frac{-(2y — y^2)}{x^2 — y^2} = \frac{x^2 — 2x — 2y + y^2}{x^2 — y^2} \). Можно переписать числитель как \(x^2 — 2x + y^2 — 2y\).
Далее, знаменатель раскладываем как разность квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Числитель можно представить как \(x^2 — 2x + y^2 — 2y = (x^2 — 2x + 1) + (y^2 — 2y + 1) — 2 =\) \(= (x — 1)^2 + (y — 1)^2 — 2\), но в данном случае оставим в исходном виде для дальнейших преобразований.
д) Рассмотрим выражение \( \frac{(x^2 — y^2) — 2(x — y)}{x^2 — y^2} \). В числителе сначала раскрываем скобки и группируем: \(x^2 — y^2 — 2x + 2y\).
Далее, знаменатель раскладываем на множители: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). В числителе выделяем общий множитель \(x — y\): \(x^2 — y^2 — 2x + 2y = (x — y)(x + y) — 2(x — y) = (x — y)(x + y — 2)\).
Теперь сокращаем дробь: \( \frac{(x — y)(x + y — 2)}{(x — y)(x + y)} = \frac{x + y — 2}{x + y} \), при условии, что \(x \neq y\) и \(x + y \neq 0\). Таким образом, получаем упрощённое выражение.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!