Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 225 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что данное выражение тождественно равно многочлену:
a) \(\frac{(y — b)^2}{y — b + 1} + \frac{y — b}{y — b + 1}\)
б) \(\frac{(a + x)^2}{a + x — 2} — \frac{2a + 2x}{a + x — 2}\)
в) \(\frac{x^2 — y^2}{x — y — 1} + \frac{x + y}{y — x + 1}\)
г) \(\frac{b^2 — 9c^2}{b + 3c — 2} + \frac{2(b — 3c)}{2 — b — 3c}\)
а) \(\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1} = \frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1} = \frac{(y-b)(y-b+1)}{y-b+1} =\)
\(= y-b\)
б) \(\frac{(a+x)^2}{a+x-2} — \frac{2a + 2x}{a+x-2} = \frac{(a+x)^2 — 2(a+x)}{a+x-2} = \frac{(a+x)(a+x-2)}{a+x-2} =\)
\(= a+x\)
в) \(\frac{x^2 — y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1} = \frac{x^2 — y^2}{x-y-1} — \frac{x+y}{x-y-1} = \frac{x^2 — y^2 — x — y}{x-y-1} =\)
\(= \frac{(x-y)(x+y) — (x+y)}{x-y-1} = \frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1} = x+y\)
г) \(\frac{b^2 — 9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2 — b — 3c} = \frac{b^2 — 9c^2}{b+3c-2} — \frac{2(b-3c)}{b+3c-2} =\)
\(= \frac{(b-3c)(b+3c) — 2(b-3c)}{b+3c-2} = \frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2} = b-3c\)
а) Начинаем с выражения \(\frac{(y-b)^2}{y-b+1} + \frac{y-b}{y-b+1}\). Поскольку оба слагаемых имеют одинаковый знаменатель \(y-b+1\), мы можем сложить числители, оставив общий знаменатель без изменений. Таким образом, получаем \(\frac{(y-b)^2 + (y-b)}{y-b+1}\). Следующий шаг — вынести общий множитель \(y-b\) из числителя: \((y-b)^2 + (y-b) = (y-b)((y-b) + 1) = (y-b)(y-b+1)\).
Далее сокращаем дробь, так как в числителе и знаменателе есть одинаковый множитель \(y-b+1\). После сокращения остается просто \(y-b\). Таким образом, исходное выражение упрощается именно до \(y-b\), что является окончательным ответом.
б) Рассматриваем выражение \(\frac{(a+x)^2}{a+x-2} — \frac{2a + 2x}{a+x-2}\). Здесь знаменатель у обеих дробей одинаковый — \(a+x-2\), поэтому можно объединить числители под одним знаменателем: \(\frac{(a+x)^2 — (2a + 2x)}{a+x-2}\). В числителе вынесем общий множитель 2 из второго слагаемого: \(2a + 2x = 2(a+x)\).
Теперь числитель принимает вид \((a+x)^2 — 2(a+x)\). Вынесем \(a+x\) за скобки: \((a+x)((a+x) — 2)\). Это позволяет сократить дробь, так как в числителе и знаменателе есть множитель \(a+x-2\). После сокращения остается \(a+x\), что и является ответом.
в) Исходное выражение \(\frac{x^2 — y^2}{x-y-1} + \frac{x+y}{y-x+1}\) требует внимательного преобразования. Обратим внимание, что знаменатель второй дроби \(y-x+1\) можно переписать как \(-(x-y-1)\). Это позволит привести дроби к общему знаменателю \(x-y-1\), изменив знак второй дроби: \(\frac{x^2 — y^2}{x-y-1} — \frac{x+y}{x-y-1}\).
Объединим числители: \(x^2 — y^2 — (x+y)\). Заметим, что \(x^2 — y^2\) раскладывается как \((x-y)(x+y)\). Таким образом, числитель равен \((x-y)(x+y) — (x+y) = (x+y)((x-y) — 1) = (x+y)(x-y-1)\).
Теперь дробь принимает вид \(\frac{(x+y)(x-y-1)}{x-y-1}\), и после сокращения знаменателя получается \(x+y\), что и есть окончательный результат.
г) Рассмотрим выражение \(\frac{b^2 — 9c^2}{b+3c-2} + \frac{2(b-3c)}{2 — b — 3c}\). Во втором слагаемом знаменатель \(2 — b — 3c\) можно переписать как \(-(b + 3c — 2)\), что меняет знак дроби на противоположный. Поэтому выражение становится \(\frac{b^2 — 9c^2}{b+3c-2} — \frac{2(b-3c)}{b+3c-2}\).
Объединим дроби под одним знаменателем \(b+3c-2\): \(\frac{b^2 — 9c^2 — 2(b-3c)}{b+3c-2}\). В числителе заметим, что \(b^2 — 9c^2\) раскладывается по формуле разности квадратов как \((b-3c)(b+3c)\).
Подставим это и раскроем скобки: \((b-3c)(b+3c) — 2(b-3c) = (b-3c)((b+3c) — 2) = (b-3c)(b+3c-2)\).
Теперь дробь принимает вид \(\frac{(b-3c)(b+3c-2)}{b+3c-2}\), после сокращения знаменателя получаем \(b-3c\), что и является ответом.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!