ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 226 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

\( \frac{a}{b} \) — несократима.
\( 1 — \frac{a}{b} = \frac{b}{b} — \frac{a}{b} = \frac{b — a}{b} \) — тоже несократима.

Пусть будет, что дробь \( \frac{b — a}{b} \) можно сократить, тогда:
\( \frac{b — a}{b} = \frac{nm}{nk}, \quad b = nk \)
\( b — a = nm \)
\( a = b — nm \)
\( a = nk — nm \)

\( \frac{a}{b} = \frac{nk — nm}{nk} = \frac{n(k — m)}{nk} = \frac{k — m}{k} \) — дробь несократима.

\( \frac{a}{b} \) — несократимая дробь, что означает, что числитель \(a\) и знаменатель \(b\) не имеют общих делителей, кроме 1. Это базовое условие, которое задает исходное состояние дроби. Если дробь несократима, то попытка упростить ее путем деления числителя и знаменателя на одно и то же число невозможна без изменения значения дроби.

Далее рассмотрим выражение \(1 — \frac{a}{b}\). Приведем его к общему знаменателю: \(1 = \frac{b}{b}\), тогда
\(1 — \frac{a}{b} = \frac{b}{b} — \frac{a}{b} = \frac{b — a}{b}\).
Поскольку \( \frac{a}{b} \) несократима, то и дробь \( \frac{b — a}{b} \) также не может быть сокращена, так как если бы она была сокращаемой, это означало бы наличие общих делителей у \(b\) и \(b — a\), что противоречит исходному условию.

Предположим теперь, что дробь \( \frac{b — a}{b} \) можно сократить. Пусть существует число \(n\), на которое можно разделить и числитель, и знаменатель:
\( \frac{b — a}{b} = \frac{nm}{nk} \), где \(b = nk\), \(b — a = nm\), а \(n\), \(m\), \(k\) — целые числа. Тогда из равенств
\( b = nk \)
\( b — a = nm \)
выразим \(a\):
\( a = b — nm = nk — nm \).

Подставим \(a\) и \(b\) обратно в дробь \( \frac{a}{b} \):
\( \frac{a}{b} = \frac{nk — nm}{nk} = \frac{n(k — m)}{nk} = \frac{k — m}{k} \).

Если дробь \( \frac{a}{b} \) была несократимой, то и дробь \( \frac{k — m}{k} \) должна быть несократимой. Но если \( \frac{b — a}{b} \) была бы сокращаемой, то \( \frac{a}{b} \) тоже стала бы сокращаемой, что противоречит исходному условию. Следовательно, дробь \( \frac{b — a}{b} \) несократима.