ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 227 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каких натуральных \( n \) является натуральным числом значение выражения:
а) \(\frac{n+6}{n}\);
б) \(\frac{5n — 12}{n}\);
в) \(\frac{36 — n^2}{n^2}\).

а) \(\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n} = 1 + \frac{6}{n}\)
\(n = 1, 2, 3, 6.\)

б) \(\frac{5n — 12}{n} = \frac{5n}{n} — \frac{12}{n} = 5 — \frac{12}{n}\)
\(n = 3, 4, 6, 12.\)

в) \(\frac{36 — n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} — \frac{n^2}{n^2} = \frac{36}{n^2} — 1\)
\(n = 1, 2, 3.\)

а) Выражение \(\frac{n+6}{n}\) можно упростить, разделив числитель на знаменатель по частям. Так как \(n\) — это общий делитель для обеих частей суммы в числителе, можно записать \(\frac{n+6}{n} = \frac{n}{n} + \frac{6}{n}\). Это равносильно разложению дроби на сумму двух дробей с одинаковым знаменателем. Значение \(\frac{n}{n}\) всегда равно 1 при \(n \neq 0\), поэтому получаем выражение \(1 + \frac{6}{n}\).

Далее, чтобы определить подходящие значения \(n\), учитываем, что \(n\) должен быть натуральным числом, при котором выражение корректно и упрощение имеет смысл. В условии указаны значения \(n = 1, 2, 3, 6\), которые делят число 6 без остатка, что соответствует делению в дроби. Таким образом, окончательное выражение — \(1 + \frac{6}{n}\) при \(n = 1, 2, 3, 6\).

б) В выражении \(\frac{5n — 12}{n}\) также применяем разложение дроби на сумму двух частей, разделяя числитель на знаменатель по отдельности: \(\frac{5n — 12}{n} = \frac{5n}{n} — \frac{12}{n}\). Здесь \(\frac{5n}{n} = 5\) при \(n \neq 0\), а вторая часть остаётся как \(\frac{12}{n}\) с минусом. Итоговое выражение получается \(5 — \frac{12}{n}\).

Для корректности решения и определения значений \(n\) выбираются такие натуральные числа, при которых знаменатель не равен нулю и дробь имеет смысл. В условии указаны \(n = 3, 4, 6, 12\), что соответствует делителям числа 12, обеспечивая целочисленное деление и корректность выражения. Таким образом, ответ — \(5 — \frac{12}{n}\) при \(n = 3, 4, 6, 12\).

в) Выражение \(\frac{36 — n^2}{n^2}\) разбиваем на две дроби с общим знаменателем \(n^2\): \(\frac{36}{n^2} — \frac{n^2}{n^2}\). Вторая дробь равна 1, так как числитель и знаменатель совпадают. Таким образом, выражение упрощается до \(\frac{36}{n^2} — 1\).

Значения \(n\) выбираются так, чтобы знаменатель не был равен нулю и выражение было определено. В условии указаны \(n = 1, 2, 3\), что соответствует натуральным числам, при которых дробь имеет смысл и упрощение корректно. Итоговый результат — \(\frac{36}{n^2} — 1\) при \(n = 1, 2, 3\).