ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 228 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Найдите значение выражения, зная, что \(\frac{x}{y} = 5\):
а) \(\frac{x + y}{y}\);
б) \(\frac{x — y}{y}\);
в) \(\frac{y}{x}\);
г) \(\frac{x + 2y}{x}\).

а) \(\frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 5 + 1 = 6.\)
б) \(\frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} — \frac{y}{y} = 5 — 1 = 4.\)
в) \(\frac{y}{x} = \frac{1}{5}.\)
г) \(\frac{x+2y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2y}{x} = 1 + 2 \cdot \frac{1}{5} = 1 \frac{2}{5}.\)

а) Начинаем с того, что нам дано отношение \( \frac{x}{y} = 5 \). В пункте а) нужно найти значение выражения \( \frac{x+y}{y} \). Для этого раскроем дробь, разделив сумму в числителе на знаменатель: \( \frac{x+y}{y} = \frac{x}{y} + \frac{y}{y} \). Это возможно, так как дробь с суммой в числителе равна сумме дробей с тем же знаменателем. Теперь подставляем известное значение \( \frac{x}{y} = 5 \) и учитываем, что \( \frac{y}{y} = 1 \), так как любое число, кроме нуля, делённое само на себя, равно единице.

Далее вычисляем сумму: \( 5 + 1 = 6 \). Таким образом, значение выражения \( \frac{x+y}{y} \) равно 6. Этот приём используется для упрощения выражений с дробями, когда в числителе стоит сумма или разность, и знаменатель общий.

б) В пункте б) рассматривается выражение \( \frac{x-y}{y} \). Аналогично предыдущему пункту раскладываем дробь на разность двух дробей с одинаковым знаменателем: \( \frac{x-y}{y} = \frac{x}{y} — \frac{y}{y} \). Подставляем известные значения: \( \frac{x}{y} = 5 \) и \( \frac{y}{y} = 1 \).

Вычисляем разность: \( 5 — 1 = 4 \). Получаем, что \( \frac{x-y}{y} = 4 \). Это демонстрирует, как можно упростить выражения с разностью в числителе, разделяя их на отдельные дроби и используя свойства деления.

в) Здесь нужно найти значение \( \frac{y}{x} \), если известно, что \( \frac{x}{y} = 5 \). Поскольку \( \frac{y}{x} \) — это обратная величина к \( \frac{x}{y} \), то \( \frac{y}{x} = \frac{1}{\frac{x}{y}} \). Подставляем значение: \( \frac{y}{x} = \frac{1}{5} \).

Это правило обратных дробей важно для понимания взаимосвязи между двумя величинами, когда одна выражена через другую. Здесь мы просто применили свойство обратной дроби.

г) В данном пункте рассматривается выражение \( \frac{x + 2y}{x} \). Раскроем дробь на сумму двух дробей с одинаковым знаменателем: \( \frac{x + 2y}{x} = \frac{x}{x} + \frac{2y}{x} \). Известно, что \( \frac{x}{x} = 1 \), а \( \frac{2y}{x} = 2 \cdot \frac{y}{x} \).

Ранее было найдено, что \( \frac{y}{x} = \frac{1}{5} \), поэтому подставляем: \( 2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{2}{5} \). Складываем: \( 1 + \frac{2}{5} = 1 \frac{2}{5} \).

Таким образом, при работе с суммой в числителе дроби можно разделить её на отдельные дроби, упростить каждую и затем сложить результаты, используя свойства дробей и известные значения.