ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 229 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Зная, что \(\frac{x + y}{y} = 3\), найдите значение выражения:
а) \(\frac{x}{y}\);
б) \(\frac{y}{x + y}\);
в) \(\frac{x — y}{y}\);
г) \(\frac{y}{x}\).

\( \frac{x + y}{y} = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} + \frac{y}{y} = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} + 1 = 3 \Rightarrow \frac{x}{y} = 3 — 1 \Rightarrow \frac{x}{y} = 2. \)

а) \(\frac{x}{y} = 2.\)

б) \(\frac{y}{x + y} = \frac{1}{3}.\)

в) \( \frac{x — y}{y} = \frac{x}{y} — \frac{y}{y} = 2 — 1 = 1.\)

г) \(\frac{y}{x} = \frac{1}{2}.\)

а) Начнем с уравнения \(\frac{x + y}{y} = 3\). Здесь числитель — сумма \(x\) и \(y\), а знаменатель — \(y\). Чтобы упростить выражение, разделим каждый член числителя на \(y\), то есть распишем как \(\frac{x}{y} + \frac{y}{y}\). Поскольку \(\frac{y}{y} = 1\), уравнение превращается в \(\frac{x}{y} + 1 = 3\).

Далее, чтобы найти отношение \(\frac{x}{y}\), нужно из обеих частей уравнения вычесть 1, что дает \(\frac{x}{y} = 3 — 1\). Это выражение упрощается до \(\frac{x}{y} = 2\). Таким образом, мы получили, что отношение \(x\) к \(y\) равно 2, что является решением первого пункта.

б) Рассмотрим выражение \(\frac{y}{x + y} = \frac{1}{3}\). Здесь нам дано, что доля \(y\) от суммы \(x + y\) равна одной трети. Это указывает на то, что \(y\) составляет третью часть суммы \(x + y\). Чтобы проверить это, можно умножить обе части уравнения на \(x + y\), получив \(y = \frac{1}{3}(x + y)\).

Далее раскрываем скобки: \(y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{3}y\). Переносим \(\frac{1}{3}y\) в левую часть: \(y — \frac{1}{3}y = \frac{1}{3}x\), что эквивалентно \(\frac{2}{3}y = \frac{1}{3}x\). Умножая обе части на 3, получаем \(2y = x\), или \(\frac{x}{y} = 2\). Это совпадает с результатом из пункта а), подтверждая правильность решения.

в) Теперь рассмотрим выражение \(\frac{x — y}{y}\). Его можно представить как разность дробей \(\frac{x}{y} — \frac{y}{y}\). Поскольку \(\frac{y}{y} = 1\), это упрощается до \(\frac{x}{y} — 1\). По результату пункта а) знаем, что \(\frac{x}{y} = 2\), значит \(\frac{x — y}{y} = 2 — 1 = 1\).

Таким образом, отношение разности \(x — y\) к \(y\) равно 1. Это означает, что разница между \(x\) и \(y\) равна \(y\), что соответствует найденному значению.

г) В последнем пункте нам дано отношение \(\frac{y}{x} = \frac{1}{2}\). Это значит, что \(y\) составляет половину \(x\). Из пункта а) мы знаем, что \(\frac{x}{y} = 2\), что эквивалентно \(\frac{y}{x} = \frac{1}{2}\). Таким образом, это соотношение подтверждает правильность предыдущих результатов.

Это отношение показывает обратную зависимость между \(x\) и \(y\): если \(x\) в два раза больше \(y\), то \(y\) в два раза меньше \(x\). Такой результат логичен и согласуется с предыдущими вычислениями.