ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 23 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Разложите на множители:
а) \(x^2 — 25\);
б) \(16 — c^2\);
в) \(a^2 — 6a + 9\);
г) \(x^2 + 8x + 16\);
д) \(a^3 — 8\);
е) \(b^3 + 27\).

а) \( x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5) \) — разность квадратов.

б) \( 16 — c^2 = (4 — c)(4 + c) \) — разность квадратов.

в) \( a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2 \) — квадрат двучлена.

г) \( x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2 \) — квадрат двучлена.

д) \( a^3 — 8 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4) \) — разложение разности кубов.

е) \( b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9) \) — разложение суммы кубов.

а) Выражение \(x^2 — 25\) представляет собой разность квадратов, так как \(25 = 5^2\). Формула разности квадратов гласит, что \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\). Здесь \(A = x\), \(B = 5\). Поэтому мы можем разложить исходное выражение на произведение двух двучленов: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\). Это разложение полезно для упрощения выражений и решения уравнений, где встречается разность квадратов.

Такое разложение основано на свойстве, что произведение суммы и разности одинаковых слагаемых даёт разность их квадратов. Это часто используется в алгебре для факторизации и упрощения выражений.

б) В выражении \(16 — c^2\) также видна разность квадратов, где \(16 = 4^2\). Аналогично предыдущему случаю, мы применяем формулу \(A^2 — B^2 = (A — B)(A + B)\), подставляя \(A = 4\), \(B = c\). Получаем: \(16 — c^2 = (4 — c)(4 + c)\). Это разложение помогает преобразовать выражение в произведение, что удобно для дальнейших действий, например, при решении уравнений или упрощении дробей.

Такой подход позволяет быстро и эффективно преобразовывать выражения с квадратами, используя известные формулы факторизации.

в) Выражение \(a^2 — 6a + 9\) является квадратом двучлена, так как оно совпадает с формулой \((A — B)^2 = A^2 — 2AB + B^2\). Здесь \(A = a\), а \(B = 3\), потому что \(9 = 3^2\) и \(2 \cdot a \cdot 3 = 6a\). Следовательно, \(a^2 — 6a + 9 = (a — 3)^2\). Это разложение показывает, что исходное выражение можно представить как квадрат бинома, что упрощает его анализ и использование в различных задачах.

Подобное разложение часто применяется для решения квадратных уравнений и анализа функций.

г) В выражении \(x^2 + 8x + 16\) также можно выделить квадрат двучлена. Формула \((A + B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\) помогает здесь, где \(A = x\), \(B = 4\), так как \(16 = 4^2\) и \(2 \cdot x \cdot 4 = 8x\). Значит, \(x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2\). Это разложение позволяет проще работать с выражением, например, при решении уравнений или упрощении.

Такое представление часто используется для преобразования и анализа алгебраических выражений.

д) Выражение \(a^3 — 8\) — это разность кубов, так как \(8 = 2^3\). Формула разности кубов: \(A^3 — B^3 = (A — B)(A^2 + AB + B^2)\). Здесь \(A = a\), \(B = 2\). Подставляя, получаем: \(a^3 — 8 = (a — 2)(a^2 + 2a + 4)\). Это разложение позволяет представить кубическую разность в виде произведения двучлена и трёхчлена, что упрощает дальнейшие вычисления и решение уравнений.

Формулы суммы и разности кубов часто применяются для факторизации сложных выражений.

е) Выражение \(b^3 + 27\) — это сумма кубов, поскольку \(27 = 3^3\). Формула суммы кубов: \(A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 — AB + B^2)\). Здесь \(A = b\), \(B = 3\). Подставляя, получаем: \(b^3 + 27 = (b + 3)(b^2 — 3b + 9)\). Это разложение позволяет представить сумму кубов в виде произведения двучлена и трёхчлена, что полезно для упрощения и решения задач.

Использование этой формулы помогает работать с кубическими выражениями и уравнениями.