ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 231 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Представьте в виде дроби:
а) \(x + y + \frac{x — y}{4}\);
б) \(m + n — \frac{1 + m n}{n}\);
в) \(a — \frac{a b + a c + b c}{a + b + c}\);
г) \(a^2 — b^2 — \frac{a^3 — b^3}{a + b}\).

а) \(x + y + \frac{x — y}{4} = \frac{4(x + y) + x — y}{4} = \frac{4x + 4y + x — y}{4} = \frac{5x + 3y}{4}\);

б) \(m + n — \frac{1 + mn}{n} = \frac{n(m + n) — 1 — mn}{n} = \frac{mn + n^2 — 1 — mn}{n} = \frac{n^2 — 1}{n}\);

в) \(a — \frac{ab + ac + bc}{a + b + c} = \frac{a(a + b + c) — ab — ac — bc}{a + b + c} = \frac{a^2 + ab + ac — ab — ac — bc}{a + b + c} = \frac{a^2 — bc}{a + b + c}\);

г) \(a^2 — b^2 — \frac{a^3 — b^3}{a + b} = \frac{(a^2 — b^2)(a + b) — a^3 + b^3}{a + b} = \frac{a^3 + a^2 b — ab^2 — b^3 — a^3 + b^3}{a + b} = \frac{a^2 b — ab^2}{a + b}\).

а) Начинаем с выражения \(x + y + \frac{x — y}{4}\). Чтобы сложить члены, нужно привести их к общему знаменателю. Первый и второй слагаемые — \(x\) и \(y\) — можно представить как \(\frac{4x}{4}\) и \(\frac{4y}{4}\), чтобы все части были с общим знаменателем 4. Тогда сумма станет \(\frac{4x}{4} + \frac{4y}{4} + \frac{x — y}{4}\).

Теперь складываем числители: \(4x + 4y + x — y = 5x + 3y\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{5x + 3y}{4}\). Таким образом, исходное сложение упрощается к дроби с общим знаменателем, что позволяет объединить все слагаемые в одно выражение.

Этот способ упрощения часто используется для сложения алгебраических выражений с разными знаменателями — путем приведения к общему знаменателю и объединения числителей.

б) Рассмотрим выражение \(m + n — \frac{1 + mn}{n}\). Чтобы упростить, сначала перепишем первое слагаемое \(m + n\) с общим знаменателем \(n\), умножив на \(\frac{n}{n}\), получим \(\frac{n(m + n)}{n}\).

Теперь вычитаем дробь: \(\frac{n(m + n)}{n} — \frac{1 + mn}{n} = \frac{n(m + n) — (1 + mn)}{n}\). Раскроем скобки в числителе: \(nm + n^2 — 1 — mn\). Заметим, что \(nm\) и \(-mn\) взаимно уничтожаются, так как \(nm = mn\).

Остается \(\frac{n^2 — 1}{n}\). Это упрощение показывает, как при работе с дробями с одинаковым знаменателем достаточно объединить числители и упростить их, а также использовать свойства коммутативности умножения.

в) Исходное выражение выглядит как \(a — \frac{ab + ac + bc}{a + b + c}\). Чтобы объединить в одну дробь, представим \(a\) как \(\frac{a(a + b + c)}{a + b + c}\), то есть с тем же знаменателем.

Теперь числитель будет \(\frac{a(a + b + c) — (ab + ac + bc)}{a + b + c}\). Раскроем скобки: \(a^2 + ab + ac — ab — ac — bc\). Слагаемые \(+ab\) и \(-ab\), \(+ac\) и \(-ac\) взаимно уничтожаются.

Остается \(\frac{a^2 — bc}{a + b + c}\). Этот пример демонстрирует, как при работе с выражениями с несколькими слагаемыми в числителе важно внимательно раскрывать скобки и сокращать одинаковые члены.

г) Рассмотрим выражение \(a^2 — b^2 — \frac{a^3 — b^3}{a + b}\). Чтобы привести к общему знаменателю, перепишем \(a^2 — b^2\) с знаменателем \(a + b\) как \(\frac{(a^2 — b^2)(a + b)}{a + b}\).

Теперь вычтем дробь: \(\frac{(a^2 — b^2)(a + b) — (a^3 — b^3)}{a + b}\). Разложим произведение в числителе: \(a^3 + a^2 b — a b^2 — b^3\), затем вычтем \(a^3 — b^3\).

Получаем \(a^3 + a^2 b — a b^2 — b^3 — a^3 + b^3 = a^2 b — a b^2\). Итог: \(\frac{a^2 b — a b^2}{a + b}\).

Здесь использованы формулы разложения разности кубов и квадрата суммы, а также свойства сокращения одинаковых членов при вычитании.