Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 232 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\frac{m n + 1}{m + n} + \frac{m n — 1}{m — n}\);
б) \(\frac{x + 4 a}{3 a + 3 x} — \frac{a — 4 x}{3 a — 3 x}\).
а) \(\frac{mn + 1}{m + n} + \frac{mn — 1}{m — n} = \frac{(mn + 1)(m — n) + (mn — 1)(m + n)}{(m + n)(m — n)} =\)
\(= \frac{m^2 n — mn^2 + m — n + m^2 n + mn^2 — m — n}{(m + n)(m — n)} = \frac{2m^2 n — 2n}{m^2 — n^2}\)
б) \(\frac{x + 4a}{3a + 3x} — \frac{a — 4x}{3a — 3x} = \frac{(x + 4a)(a — x) — (a — 4x)(a + x)}{3(a + x)(a — x)} =\)
\(= \frac{ax — x^2 + 4a^2 — 4ax — a^2 — ax + 4ax + 4x^2}{3(a + x)(a — x)} = \frac{3x^2 + 3a^2}{3(a + x)(a — x)} =\)
\(= \frac{3(x^2 + a^2)}{3(a^2 — x^2)} = \frac{x^2 + a^2}{a^2 — x^2}\)
а) Начинаем с приведения двух дробей к общему знаменателю. У нас есть выражение \(\frac{mn + 1}{m + n} + \frac{mn — 1}{m — n}\). Общий знаменатель для них будет произведение \((m + n)(m — n)\), так как знаменатели разные. Переписываем сумму в виде одной дроби: \(\frac{(mn + 1)(m — n) + (mn — 1)(m + n)}{(m + n)(m — n)}\). Здесь мы умножаем числители каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель.
Далее раскрываем скобки в числителе: \((mn + 1)(m — n) = mn \cdot m — mn \cdot n + 1 \cdot m — 1 \cdot n = m^2 n — mn^2 + m — n\), и \((mn — 1)(m + n) = mn \cdot m + mn \cdot n — 1 \cdot m — 1 \cdot n = m^2 n + mn^2 — m — n\). Складываем полученные выражения: \(m^2 n — mn^2 + m — n + m^2 n + mn^2 — m — n\). Здесь \( — mn^2\) и \(+ mn^2\) взаимно уничтожаются, а \(m\) и \(-m\) тоже, остается \(2 m^2 n — 2 n\).
В знаменателе у нас разность квадратов: \((m + n)(m — n) = m^2 — n^2\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{2 m^2 n — 2 n}{m^2 — n^2}\). Можно вынести общий множитель \(2 n\) в числителе: \(\frac{2 n (m^2 — 1)}{m^2 — n^2}\), но в данном случае выражение достаточно компактно и оставляем как есть.
б) Рассматриваем выражение \(\frac{x + 4a}{3a + 3x} — \frac{a — 4x}{3a — 3x}\). Сначала выделим общий множитель \(3\) в знаменателях: \(3(a + x)\) и \(3(a — x)\) соответственно. Общий знаменатель будет \(3(a + x)(a — x)\).
Переписываем разность дробей с общим знаменателем: \(\frac{(x + 4a)(a — x) — (a — 4x)(a + x)}{3(a + x)(a — x)}\). Далее раскрываем скобки в числителе. Для первого произведения: \(x \cdot a — x \cdot x + 4a \cdot a — 4a \cdot x = a x — x^2 + 4 a^2 — 4 a x\). Для второго: \(a \cdot a + a \cdot x — 4x \cdot a — 4x \cdot x = a^2 + a x — 4 a x — 4 x^2\). Обращаем внимание на знак минус перед вторым произведением, который меняет знаки каждого слагаемого: \(- a^2 — a x + 4 a x + 4 x^2\).
Складываем выражения числителя: \(a x — x^2 + 4 a^2 — 4 a x — a^2 — a x + 4 a x + 4 x^2\). Здесь \( -4 a x\) и \(+4 a x\) взаимно сокращаются, а \(a x\), \(- a x\) тоже сокращаются, остаётся \( — x^2 + 4 a^2 — a^2 + 4 x^2 = 3 x^2 + 3 a^2\).
Знаменатель остается \(3 (a + x)(a — x)\), что равно \(3 (a^2 — x^2)\). Итоговая дробь принимает вид \(\frac{3(x^2 + a^2)}{3(a^2 — x^2)}\), сокращаем общий множитель 3 и получаем \(\frac{x^2 + a^2}{a^2 — x^2}\).
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!