ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 232 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{m n + 1}{m + n} + \frac{m n — 1}{m — n}\);
б) \(\frac{x + 4 a}{3 a + 3 x} — \frac{a — 4 x}{3 a — 3 x}\).

а) \(\frac{mn + 1}{m + n} + \frac{mn — 1}{m — n} = \frac{(mn + 1)(m — n) + (mn — 1)(m + n)}{(m + n)(m — n)} =\)
\(= \frac{m^2 n — mn^2 + m — n + m^2 n + mn^2 — m — n}{(m + n)(m — n)} = \frac{2m^2 n — 2n}{m^2 — n^2}\)

б) \(\frac{x + 4a}{3a + 3x} — \frac{a — 4x}{3a — 3x} = \frac{(x + 4a)(a — x) — (a — 4x)(a + x)}{3(a + x)(a — x)} =\)
\(= \frac{ax — x^2 + 4a^2 — 4ax — a^2 — ax + 4ax + 4x^2}{3(a + x)(a — x)} = \frac{3x^2 + 3a^2}{3(a + x)(a — x)} =\)
\(= \frac{3(x^2 + a^2)}{3(a^2 — x^2)} = \frac{x^2 + a^2}{a^2 — x^2}\)

а) Начинаем с приведения двух дробей к общему знаменателю. У нас есть выражение \(\frac{mn + 1}{m + n} + \frac{mn — 1}{m — n}\). Общий знаменатель для них будет произведение \((m + n)(m — n)\), так как знаменатели разные. Переписываем сумму в виде одной дроби: \(\frac{(mn + 1)(m — n) + (mn — 1)(m + n)}{(m + n)(m — n)}\). Здесь мы умножаем числители каждой дроби на знаменатель другой дроби, чтобы получить общий знаменатель.

Далее раскрываем скобки в числителе: \((mn + 1)(m — n) = mn \cdot m — mn \cdot n + 1 \cdot m — 1 \cdot n = m^2 n — mn^2 + m — n\), и \((mn — 1)(m + n) = mn \cdot m + mn \cdot n — 1 \cdot m — 1 \cdot n = m^2 n + mn^2 — m — n\). Складываем полученные выражения: \(m^2 n — mn^2 + m — n + m^2 n + mn^2 — m — n\). Здесь \( — mn^2\) и \(+ mn^2\) взаимно уничтожаются, а \(m\) и \(-m\) тоже, остается \(2 m^2 n — 2 n\).

В знаменателе у нас разность квадратов: \((m + n)(m — n) = m^2 — n^2\). Итоговое выражение принимает вид \(\frac{2 m^2 n — 2 n}{m^2 — n^2}\). Можно вынести общий множитель \(2 n\) в числителе: \(\frac{2 n (m^2 — 1)}{m^2 — n^2}\), но в данном случае выражение достаточно компактно и оставляем как есть.

б) Рассматриваем выражение \(\frac{x + 4a}{3a + 3x} — \frac{a — 4x}{3a — 3x}\). Сначала выделим общий множитель \(3\) в знаменателях: \(3(a + x)\) и \(3(a — x)\) соответственно. Общий знаменатель будет \(3(a + x)(a — x)\).

Переписываем разность дробей с общим знаменателем: \(\frac{(x + 4a)(a — x) — (a — 4x)(a + x)}{3(a + x)(a — x)}\). Далее раскрываем скобки в числителе. Для первого произведения: \(x \cdot a — x \cdot x + 4a \cdot a — 4a \cdot x = a x — x^2 + 4 a^2 — 4 a x\). Для второго: \(a \cdot a + a \cdot x — 4x \cdot a — 4x \cdot x = a^2 + a x — 4 a x — 4 x^2\). Обращаем внимание на знак минус перед вторым произведением, который меняет знаки каждого слагаемого: \(- a^2 — a x + 4 a x + 4 x^2\).

Складываем выражения числителя: \(a x — x^2 + 4 a^2 — 4 a x — a^2 — a x + 4 a x + 4 x^2\). Здесь \( -4 a x\) и \(+4 a x\) взаимно сокращаются, а \(a x\), \(- a x\) тоже сокращаются, остаётся \( — x^2 + 4 a^2 — a^2 + 4 x^2 = 3 x^2 + 3 a^2\).

Знаменатель остается \(3 (a + x)(a — x)\), что равно \(3 (a^2 — x^2)\). Итоговая дробь принимает вид \(\frac{3(x^2 + a^2)}{3(a^2 — x^2)}\), сокращаем общий множитель 3 и получаем \(\frac{x^2 + a^2}{a^2 — x^2}\).