ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 233 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
а) \(\frac{2 y^2 — y}{y^2 — y + 1} — \frac{2 y^2 + y}{y^2 + y + 1} + \frac{1}{4}\);
б) \(\frac{6 a}{2,5 a^2 — 0,64} — \frac{8}{6 a — 3,2}\).

а) \( \frac{2y^2 — y}{y^2 — y + \frac{1}{4}} — \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} — \frac{1}{y^2 — \frac{1}{4}} = \)

\( = \frac{(2y^2 — y) \cdot 4}{4y^2 — 4y + 1} — \frac{(2y^2 + y) \cdot 4}{4y^2 + 4y + 1} — \frac{4}{4y^2 — 1} = \)

\( = \frac{y(2y — 1) \cdot 4}{(2y — 1)^2} — \frac{y(2y + 1) \cdot 4}{(2y + 1)^2} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \)

\( = \frac{4y}{2y — 1} — \frac{4y}{2y + 1} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \)

\( = \frac{4y(2y + 1)}{(2y — 1)(2y + 1)} — \frac{4y(2y — 1)}{(2y — 1)(2y + 1)} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \)

\( = \frac{8y^2 + 4y — 8y^2 + 4y — 4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{8y — 4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{4(2y — 1)}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{4}{2y + 1}. \)

б) \( \frac{6a}{2,25a^2 — 0,64} — \frac{8}{6a — 3,2} = \frac{6a}{\left(\frac{3}{2}a\right)^2 — \left(\frac{4}{5}\right)^2} — \frac{8}{6a — 3,2} = \)

\( = \frac{6a}{\left(\frac{3}{2}a — \frac{4}{5}\right)\left(\frac{3}{2}a + \frac{4}{5}\right)} — \frac{8}{6a — 3,2} = \)

\( = \frac{6a}{\left(\frac{15a — 8}{10}\right)\left(\frac{15a + 8}{10}\right)} — \frac{8}{6a — 3,2} = \frac{6a \cdot 100}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{8}{6a — 3,2} = \)

\( = \frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{8}{6a — 3,2} = \frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{8 \cdot (15a + 8)}{(6a — 3,2)(15a + 8)} = \)

\( = \frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{8(15a + 8)}{(15a — 8)(15a + 8)} = \)

\( = \frac{600a — 8(15a + 8)}{(15a — 8)(15a + 8)} = \frac{600a — 120a — 64}{(15a — 8)(15a + 8)} = \frac{480a — 64}{(15a — 8)(15a + 8)} = \)

\( = \frac{4(120a — 16)}{(15a — 8)(15a + 8)} = \frac{4 \cdot 4(30a — 4)}{(15a — 8)(15a + 8)} = \frac{16(30a — 4)}{(15a — 8)(15a + 8)}. \)

Ответ: а) \( \frac{4}{2y + 1} \); б) \( \frac{20}{15a + 8} \).

а) Начинаем с выражения \(\frac{2y^2 — y}{y^2 — y + \frac{1}{4}} — \frac{2y^2 + y}{y^2 + y + \frac{1}{4}} — \frac{1}{y^2 — \frac{1}{4}}\). Для удобства преобразуем знаменатели, представляя их в виде квадратов бинома. Заметим, что \(y^2 — y + \frac{1}{4} = \left(y — \frac{1}{2}\right)^2\), а \(y^2 + y + \frac{1}{4} = \left(y + \frac{1}{2}\right)^2\). Также знаменатель \(y^2 — \frac{1}{4}\) является разностью квадратов: \(\left(y — \frac{1}{2}\right)\left(y + \frac{1}{2}\right)\).

Далее умножаем числители и знаменатели на 4, чтобы избавиться от дробей в знаменателях, получая: \((2y^2 — y) \cdot \frac{4}{4y^2 — 4y + 1} — (2y^2 + y) \cdot \frac{4}{4y^2 + 4y + 1} — \frac{4}{4y^2 — 1}\). Преобразуем числители: \(2y^2 — y = y(2y — 1)\), \(2y^2 + y = y(2y + 1)\). Знаменатели раскладываем как квадраты: \(4y^2 — 4y + 1 = (2y — 1)^2\), \(4y^2 + 4y + 1 = (2y + 1)^2\), \(4y^2 — 1 = (2y — 1)(2y + 1)\).

Теперь выражение принимает вид \(\frac{4y(2y — 1)}{(2y — 1)^2} — \frac{4y(2y + 1)}{(2y + 1)^2} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)}\). Упрощаем дроби, сокращая по одному множителю в числителе и знаменателе: \(\frac{4y}{2y — 1} — \frac{4y}{2y + 1} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)}\).

Общим знаменателем является произведение \((2y — 1)(2y + 1)\). Приводим дроби к общему знаменателю: \(\frac{4y(2y + 1)}{(2y — 1)(2y + 1)} — \frac{4y(2y — 1)}{(2y — 1)(2y + 1)} — \frac{4}{(2y — 1)(2y + 1)}\). В числителе раскрываем скобки: \(4y(2y + 1) = 8y^2 + 4y\), \(4y(2y — 1) = 8y^2 — 4y\).

Подставляем и объединяем: \(\frac{8y^2 + 4y — (8y^2 — 4y) — 4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{8y^2 + 4y — 8y^2 + 4y — 4}{(2y — 1)(2y + 1)} = \frac{8y — 4}{(2y — 1)(2y + 1)}\). В числителе выносим общий множитель 4: \(\frac{4(2y — 1)}{(2y — 1)(2y + 1)}\). Сокращаем на \(2y — 1\), получая окончательный ответ \(\frac{4}{2y + 1}\).

б) Рассмотрим выражение \(\frac{6a}{2,25a^2 — 0,64} — \frac{8}{6a — 3,2}\). Переводим десятичные дроби в дробные: \(2,25 = \frac{9}{4}\), \(0,64 = \frac{16}{25}\), \(3,2 = \frac{16}{5}\). Получаем \(\frac{6a}{\frac{9}{4}a^2 — \frac{16}{25}} — \frac{8}{6a — \frac{16}{5}}\).

Приводим знаменатель первой дроби к общему виду: \(\frac{9}{4}a^2 — \frac{16}{25} = \frac{225a^2 — 64}{100}\). Следовательно, первая дробь равна \(6a : \frac{225a^2 — 64}{100} = \frac{600a}{225a^2 — 64}\). Вторую дробь оставляем как есть: \(\frac{8}{6a — \frac{16}{5}}\).

Обозначаем знаменатель первой дроби как разность квадратов: \(225a^2 — 64 = (15a)^2 — 8^2 = (15a — 8)(15a + 8)\). Тогда первая дробь принимает вид \(\frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)}\).

Вторую дробь приводим к виду с целочисленным знаменателем: \(6a — \frac{16}{5} = \frac{30a — 16}{5}\), значит \(\frac{8}{6a — \frac{16}{5}} = \frac{8}{\frac{30a — 16}{5}} = \frac{40}{30a — 16}\). Заметим, что \(30a — 16 = 2(15a — 8)\).

Теперь выражение равно \(\frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{40}{2(15a — 8)} = \frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{20}{15a — 8}\).

Приводим дроби к общему знаменателю \((15a — 8)(15a + 8)\): \(\frac{600a}{(15a — 8)(15a + 8)} — \frac{20(15a + 8)}{(15a — 8)(15a + 8)} = \frac{600a — 20(15a + 8)}{(15a — 8)(15a + 8)}\).

В числителе раскрываем скобки: \(600a — 300a — 160 = 300a — 160\). Выносим общий множитель 20: \(\frac{20(15a — 8)}{(15a — 8)(15a + 8)}\). Сокращаем на \(15a — 8\), получая окончательный ответ \(\frac{20}{15a + 8}\).