ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 234 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения равно нулю:
\[
\frac{1}{(a — b)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(a — b)} + \frac{1}{(b — c)(c — a)} = 0.
\]

\( \frac{1}{(a — b)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(a — b)} + \frac{1}{(b — c)(c — a)} = \)

\( = \frac{c — a + b — c + a — b}{(a — b)(b — c)(c — a)} = \frac{0}{(a — b)(b — c)(c — a)} = 0. \)

\( \frac{1}{(a — b)(b — c)} + \frac{1}{(c — a)(a — b)} + \frac{1}{(b — c)(c — a)} = \)

Сначала обращаем внимание, что все три дроби имеют знаменатели, представляющие собой произведение разностей переменных \(a\), \(b\), \(c\), но в разном порядке. Чтобы сложить эти дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением всех трех множителей: \((a — b)(b — c)(c — a)\). Для каждой дроби находим, на что нужно умножить числитель и знаменатель, чтобы получить этот общий знаменатель.

Первая дробь уже содержит множители \((a — b)(b — c)\) в знаменателе, ей не хватает множителя \((c — a)\), поэтому умножаем числитель и знаменатель первой дроби на \((c — a)\). Аналогично, вторая дробь содержит \((c — a)(a — b)\), ей не хватает множителя \((b — c)\), значит, умножаем числитель и знаменатель второй дроби на \((b — c)\). Третья дробь содержит \((b — c)(c — a)\), ей не хватает множителя \((a — b)\), поэтому умножаем числитель и знаменатель третьей дроби на \((a — b)\).

После приведения к общему знаменателю получаем сумму числителей: \( (c — a) + (b — c) + (a — b) \). Раскроем скобки и сложим подобные члены: \(c — a + b — c + a — b\). Здесь \(c\) и \(-c\), \(b\) и \(-b\), \(a\) и \(-a\) взаимно уничтожаются, в результате сумма числителей равна нулю. Следовательно, вся дробь принимает вид \( \frac{0}{(a — b)(b — c)(c — a)} \), что равно нулю при условии, что знаменатель не равен нулю (то есть \(a\), \(b\), \(c\) — различные числа).