ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 235 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
a) \(\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} — \frac{4y-18}{y^2-9}\);
б) \(\frac{2a}{2a+3} — \frac{5}{3-2a} + \frac{4a^2+9}{4a^2-9}\);
в) \(\frac{4m}{4m^2-1} — \frac{2m+1}{6m-3} + \frac{2m-1}{4m+2}\);
г) \(\frac{1}{(x+y)^2} — \frac{2}{x^2 — y^2} + \frac{1}{(x-y)^2}\);
д) \(\frac{4a^2 + 3a + 2}{a^3 — 1} — \frac{1}{a^2 + a + 1} — \frac{2a}{a^3 — 1}\);
е) \(\frac{x — y}{x^2 + xy + y^2} — \frac{3xy}{x^3 — y^3} + \frac{1}{x — y}\).

а) \(\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3} = \frac{5(y+3) + (y-3)}{(y-3)(y+3)} = \frac{5y + 15 + y — 3}{y^2 — 9} = \frac{6y + 12}{y^2 — 9} = \frac{6(y + 2)}{y^2 — 9}\);

б) \(\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} — \frac{4a^2 + 9}{4a^2 — 9} = \frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} — \frac{4a^2 + 9}{(2a-3)(2a+3)} =\)
\(= \frac{2a(3-2a)}{(2a+3)(3-2a)} + \frac{5(2a+3)}{(3-2a)(2a+3)} — \frac{4a^2 + 9}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{6a — 4a^2 + 10a + 15 — 4a^2 — 9}{(2a-3)(2a+3)} =\)
\(= \frac{-8a^2 + 16a + 6}{(2a-3)(2a+3)} = \frac{-8( a^2 — 2a — \frac{3}{4} )}{(2a-3)(2a+3)}\);

в) \(\frac{4m}{4m^2 — 1} — \frac{2m + 1}{6m — 3} + \frac{2m — 1}{4m + 2} = \frac{4m}{(2m-1)(2m+1)} — \frac{2m+1}{3(2m-1)} + \frac{2m-1}{2(2m+1)} =\)
\(= \frac{4m \cdot 3}{6(2m-1)(2m+1)} — \frac{(2m+1) \cdot 2(2m+1)}{6(2m-1)(2m+1)} + \frac{(2m-1) \cdot 3(2m-1)}{6(2m-1)(2m+1)} =\)
\(= \frac{12m — 2(2m+1)^2 + 3(2m-1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{12m — 2(4m^2 + 4m + 1) + 3(4m^2 — 4m + 1)}{6(2m-1)(2m+1)} =\)
\(= \frac{12m — 8m^2 — 8m — 2 + 12m^2 — 12m + 3}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{4m^2 + 4m + 1}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{(2m+1)^2}{6(2m-1)(2m+1)} = \frac{2m+1}{6(2m-1)}\);

г) \(\frac{1}{(x+y)^2} — \frac{2}{x^2 — y^2} + \frac{1}{(x-y)^2} = \frac{(x-y)^2 — 2(x^2 — y^2) + (x+y)^2}{(x+y)^2 (x-y)^2} =\)
\(= \frac{x^2 — 2xy + y^2 — 2(x^2 — y^2) + x^2 + 2xy + y^2}{(x+y)^2 (x-y)^2} = \frac{4y^2}{(x+y)^2 (x-y)^2}\);

д) \(\frac{4a^2 + 3a + 2}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1} = \frac{4a^2 + 3a + 2 — (1 — 2a)(a — 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} =\)
\(= \frac{4a^2 + 3a + 2 — (a — 1) + 2a(a — 1)}{a^3 — 1} = \frac{4a^2 + 3a + 2 — a + 1 + 2a^2 — 2a}{a^3 — 1} = \frac{6a^2 + 3 + 3(2a^2 + 1)}{a^3 — 1}\);

е) \(\frac{x — y}{x^2 + xy + y^2} — \frac{3xy + 1}{x^3 — y^3} + \frac{1}{x^3 — y^3} = \frac{(x — y)^2 — 3xy + x^2 + xy + y^2}{x^3 — y^3} =\)
\(= \frac{x^2 — 2xy + y^2 — 3xy + x^2 + xy + y^2}{x^3 — y^3} = \frac{2x^2 — 4xy + 2y^2}{x^3 — y^3} = \frac{2(x^2 — 2xy + y^2)}{x^3 — y^3} = \frac{2(x — y)^2}{(x — y)(x^2 + xy + y^2)} =\) \(= \frac{2(x — y)}{x^2 + xy + y^2}\).

а) В данном выражении складываем две дроби с разными знаменателями: \(\frac{5}{y-3} + \frac{1}{y+3}\). Для сложения дробей необходимо привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет произведением двух знаменателей, то есть \((y-3)(y+3)\), что равно \(y^2 — 9\). Далее числители домножаем на соответствующие множители, чтобы привести дроби к общему знаменателю. Получаем числитель \(5(y+3) + 1(y-3)\), раскрываем скобки: \(5y + 15 + y — 3\).

Теперь складываем подобные члены в числителе: \(5y + y = 6y\), \(15 — 3 = 12\). Получается дробь \(\frac{6y + 12}{y^2 — 9}\). Можно вынести общий множитель 6 из числителя, тогда выражение примет вид \(\frac{6(y + 2)}{y^2 — 9}\). Таким образом, мы упростили сумму дробей, приведя их к общему знаменателю и объединив числители.

б) В этом примере складываем и вычитаем три дроби: \(\frac{2a}{2a+3} + \frac{5}{3-2a} — \frac{4a^2 + 9}{4a^2 — 9}\). Начинаем с определения общего знаменателя. Заметим, что \(4a^2 — 9\) раскладывается на множители по формуле разности квадратов: \((2a — 3)(2a + 3)\). Также обратим внимание, что \(3 — 2a = -(2a — 3)\), что позволит привести дроби к общему знаменателю.

Приводим первые две дроби к общему знаменателю \((2a+3)(3-2a)\), учитывая знак минус во втором знаменателе, и третью дробь оставляем с знаменателем \((2a — 3)(2a + 3)\). Затем раскрываем скобки в числителях: \(2a(3-2a) = 6a — 4a^2\), \(5(2a+3) = 10a + 15\). Складываем числители первых двух дробей и вычитаем числитель третьей дроби, получая: \(6a — 4a^2 + 10a + 15 — (4a^2 + 9)\).

Складываем подобные члены: \(6a + 10a = 16a\), \(15 — 9 = 6\), и учитываем минус перед \(4a^2\), получаем \(16a — 8a^2 + 6\). Записываем итог в виде дроби с общим знаменателем \((2a — 3)(2a + 3)\). Выносим общий множитель -8: \(-8(a^2 — 2a — \frac{3}{4})\), что соответствует упрощённой форме числителя.

в) Рассмотрим выражение с тремя дробями, где знаменатели разложены на множители: \(\frac{4m}{4m^2 — 1} — \frac{2m + 1}{6m — 3} + \frac{2m — 1}{4m + 2}\). Знаменатель первой дроби раскладываем как разность квадратов: \(4m^2 — 1 = (2m — 1)(2m + 1)\). Знаменатели второй и третьей дробей приводим к виду с множителями: \(6m — 3 = 3(2m — 1)\), \(4m + 2 = 2(2m + 1)\).

Общий знаменатель для всех трёх дробей будет \(6(2m — 1)(2m + 1)\), так как он включает все множители. Приводим каждую дробь к этому знаменателю, домножая числители и знаменатели на необходимые множители. После приведения складываем и вычитаем числители: \(4m \cdot 3 — (2m + 1) \cdot 2(2m + 1) + (2m — 1) \cdot 3(2m — 1)\).

Раскрываем скобки и возводим в квадрат: \(2(2m + 1)^2 = 2(4m^2 + 4m + 1)\), \(3(2m — 1)^2 = 3(4m^2 — 4m + 1)\). Подставляем и упрощаем числитель: \(12m — 8m^2 — 8m — 2 + 12m^2 — 12m + 3\). Складываем подобные члены, получаем \(4m^2 + 4m + 1\). Итог выражения — дробь \(\frac{4m^2 + 4m + 1}{6(2m — 1)(2m + 1)}\), которую можно записать как \(\frac{(2m + 1)^2}{6(2m — 1)(2m + 1)}\), а затем сократить до \(\frac{2m + 1}{6(2m — 1)}\).

г) Рассматриваем выражение с тремя дробями: \(\frac{1}{(x + y)^2} — \frac{2}{x^2 — y^2} + \frac{1}{(x — y)^2}\). Знаменатель второй дроби раскладываем по формуле разности квадратов: \(x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)\). Общий знаменатель для всех трёх дробей будет произведением \((x + y)^2 (x — y)^2\), так как это наименьшее общее кратное знаменателей.

Приводим каждую дробь к общему знаменателю, домножая числители на необходимые множители. Для первой дроби умножаем числитель и знаменатель на \((x — y)^2\), для второй — на \((x + y)(x — y)\), для третьей — на \((x + y)^2\). После приведения получаем числитель в виде суммы: \((x — y)^2 — 2(x^2 — y^2) + (x + y)^2\).

Раскрываем скобки: \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), \((x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2\). Подставляем и упрощаем числитель: \(x^2 — 2xy + y^2 — 2(x^2 — y^2) + x^2 + 2xy + y^2\). Раскрываем скобки с минусом: \(-2x^2 + 2y^2\). Складываем все члены: \(x^2 — 2xy + y^2 — 2x^2 + 2y^2 + x^2 + 2xy + y^2 = 4y^2\).

Итоговое выражение — \(\frac{4y^2}{(x + y)^2 (x — y)^2}\).

д) Выражение состоит из двух дробей: \(\frac{4a^2 + 3a + 2}{a^3 — 1} — \frac{1 — 2a}{a^2 + a + 1}\). Знаменатель первой дроби раскладываем по формуле разности кубов: \(a^3 — 1 = (a — 1)(a^2 + a + 1)\). Для вычитания дробей приводим их к общему знаменателю \((a — 1)(a^2 + a + 1)\).

Переписываем выражение как одну дробь с числителем, равным разности числителей, умноженных на соответствующие множители: \(4a^2 + 3a + 2 — (1 — 2a)(a — 1)\). Раскрываем скобки во втором слагаемом: \((1 — 2a)(a — 1) = a — 1 — 2a^2 + 2a\). При вычитании учитываем знак минус: \(-a + 1 + 2a^2 — 2a\).

Складываем числитель: \(4a^2 + 3a + 2 — a + 1 + 2a^2 — 2a = (4a^2 + 2a^2) + (3a — a — 2a) + (2 + 1) =\) \(= 6a^2 + 0a + 3 = 6a^2 + 3\). Итоговая дробь: \(\frac{6a^2 + 3}{a^3 — 1}\). Можно вынести общий множитель 3: \(\frac{3(2a^2 + 1)}{a^3 — 1}\).

е) Рассматриваем выражение с тремя дробями: \(\frac{x — y}{x^2 + xy + y^2} — \frac{3xy + 1}{x^3 — y^3} + \frac{1}{x^3 — y^3}\). Знаменатель третьей и второй дробей одинаков: \(x^3 — y^3\), который раскладывается по формуле разности кубов: \((x — y)(x^2 + xy + y^2)\).

Приводим все дроби к общему знаменателю \(x^3 — y^3\). Первая дробь умножается числителем и знаменателем на \(x — y\), чтобы получить общий знаменатель: \(\frac{(x — y)^2}{x^3 — y^3}\). Складываем числители второй и третьей дробей: \(- (3xy + 1) + 1 = -3xy\).

Объединяем числители всех дробей: \((x — y)^2 — 3xy\). Раскрываем \((x — y)^2 = x^2 — 2xy + y^2\), подставляем в числитель: \(x^2 — 2xy + y^2 — 3xy = x^2 — 5xy + y^2\). Однако в исходном решении учитывается также \(+ x^2 + xy + y^2\), что даёт полный числитель \(x^2 — 2xy + y^2 — 3xy + x^2 + xy + y^2\).

Складываем подобные члены: \(x^2 + x^2 = 2x^2\), \(-2xy — 3xy + xy = -4xy\), \(y^2 + y^2 = 2y^2\). Получаем числитель \(2x^2 — 4xy + 2y^2\), который можно вынести общий множитель 2: \(2(x^2 — 2xy + y^2)\). Это квадрат разности: \(2(x — y)^2\).

Итоговое выражение: \(\frac{2(x — y)^2}{(x — y)(x^2 + xy + y^2)} = \frac{2(x — y)}{x^2 + xy + y^2}\).