Учебник по алгебре для 8 класса (авторы: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, все части) по праву считается одним из самых надёжных пособий для школьной программы. Он помогает ученикам уверенно перейти от базовых алгебраических навыков к более сложным темам 8 класса, а учителям — выстроить понятную и логичную систему уроков с регулярной практикой.
Ключевые преимущества учебника:
1. Чёткая логика изложения — материал подаётся последовательно: от повторения и закрепления важных основ к новым темам, которые требуют более внимательной работы и системного подхода.
2. Понятная теория и примеры — определения, правила и формулы сопровождаются разбором типовых примеров, благодаря чему ученик видит не только «что нужно знать», но и как именно применять это на практике.
3. Сильная практическая часть — задания идут по нарастающей сложности: сначала тренируются базовые навыки, затем добавляются упражнения на внимательность, преобразования выражений и более комбинированные задачи.
4. Развитие математического мышления — кроме стандартных упражнений, в учебнике встречаются задания, которые учат анализировать условия, выбирать рациональный способ решения и проверять результат, а не просто действовать по шаблону.
5. Удобно для подготовки к контрольным и самостоятельным — структура тем и набор упражнений помогают системно отрабатывать навыки перед проверочными работами: от типовых примеров до заданий повышенной сложности.
6. Подходит для разных уровней подготовки — учебник полезен и тем, кто осваивает базовый уровень, и тем, кто хочет уверенно решать более сложные задачи: за счёт разнообразия упражнений каждый может двигаться в своём темпе.
Алгебра в 8 классе — это этап, где особенно важно не заучивать, а понимать связи между темами и учиться применять знания в новых ситуациях. Учебник Макарычева, Миндюка, Нешкова и Суворовой помогает сформировать такую опору: он развивает аккуратность в преобразованиях, уверенность в вычислениях и привычку рассуждать.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 236 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы
Докажите, что тождественно равны выражения
\(\frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)}\) и \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\).
\( \frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \)
\(\frac{(ax + by)(a + b) — (bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{a^2x + abx + aby + b^2y — abx + b^2x + a^2y — aby}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{a^2x + b^2y + b^2x + a^2y}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{a^2(x + y) + b^2(y + x)}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a^2 — b^2)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)
\(\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\) — верно.
\( \frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \)
Сначала приведём выражение к общему знаменателю. В числителе первой дроби стоит выражение \(ax + by\), а знаменатель — произведение \((a — b)(x + y)\). Во второй дроби числитель \(bx — ay\), а знаменатель \((a + b)(x + y)\). Чтобы выполнить вычитание дробей, нужно привести их к общему знаменателю, которым является произведение \((a — b)(a + b)(x + y)\). Для этого первую дробь умножаем на \(\frac{a + b}{a + b}\), а вторую — на \(\frac{a — b}{a — b}\). Тогда выражение принимает вид:
\( \frac{(ax + by)(a + b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} — \frac{(bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).
Теперь, объединив числители в одну разность, получаем:
\( \frac{(ax + by)(a + b) — (bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).
Далее раскрываем скобки в числителе. Для первого слагаемого:
\( (ax + by)(a + b) = a \cdot ax + a \cdot by + b \cdot ax + b \cdot by = a^2 x + a b y + a b x + b^2 y \).
Для второго слагаемого:
\( (bx — ay)(a — b) = b x \cdot a — b x \cdot b — a y \cdot a + a y \cdot b = a b x — b^2 x — a^2 y + a b y \).
В числителе стоит разность этих выражений, поэтому:
\( (a^2 x + a b y + a b x + b^2 y) — (a b x — b^2 x — a^2 y + a b y) \).
Раскрываем скобки со знаком минус:
\( a^2 x + a b y + a b x + b^2 y — a b x + b^2 x + a^2 y — a b y \).
Теперь группируем подобные члены:
— \(a b y\) и \(- a b y\) взаимно уничтожаются.
— \(a b x\) и \(- a b x\) взаимно уничтожаются.
Остаются:
\( a^2 x + b^2 y + b^2 x + a^2 y \).
Перегруппируем:
\( a^2 x + a^2 y + b^2 x + b^2 y = a^2 (x + y) + b^2 (x + y) \).
Факторизуем общий множитель \((x + y)\):
\( (x + y)(a^2 + b^2) \).
Подставляем обратно в числитель:
\( \frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).
Знаменатель можно упростить, так как \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), и сокращаем \((x + y)\) в числителе и знаменателе, если \(x + y \neq 0\), получаем:
\( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \).
Таким образом, исходное выражение равно \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \), что совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.
Любой навык лучше отрабатывать самостоятельной практикой, и решение задач — не исключение. Прежде чем обратиться к подсказкам, стоит попробовать справиться с заданием, опираясь на свои знания. Если дойти до конца удалось — проверить ответ и в случае расхождений сверить своё решение с правильным.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!