ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 236 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Докажите, что тождественно равны выражения
\(\frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)}\) и \(\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\).

\( \frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \)

\(\frac{(ax + by)(a + b) — (bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)

\(\frac{a^2x + abx + aby + b^2y — abx + b^2x + a^2y — aby}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)

\(\frac{a^2x + b^2y + b^2x + a^2y}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)

\(\frac{a^2(x + y) + b^2(y + x)}{(a — b)(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)

\(\frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a^2 — b^2)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\)

\(\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}\) — верно.

\( \frac{ax + by}{(a — b)(x + y)} — \frac{bx — ay}{(a + b)(x + y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \)

Сначала приведём выражение к общему знаменателю. В числителе первой дроби стоит выражение \(ax + by\), а знаменатель — произведение \((a — b)(x + y)\). Во второй дроби числитель \(bx — ay\), а знаменатель \((a + b)(x + y)\). Чтобы выполнить вычитание дробей, нужно привести их к общему знаменателю, которым является произведение \((a — b)(a + b)(x + y)\). Для этого первую дробь умножаем на \(\frac{a + b}{a + b}\), а вторую — на \(\frac{a — b}{a — b}\). Тогда выражение принимает вид:

\( \frac{(ax + by)(a + b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} — \frac{(bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).

Теперь, объединив числители в одну разность, получаем:

\( \frac{(ax + by)(a + b) — (bx — ay)(a — b)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).

Далее раскрываем скобки в числителе. Для первого слагаемого:

\( (ax + by)(a + b) = a \cdot ax + a \cdot by + b \cdot ax + b \cdot by = a^2 x + a b y + a b x + b^2 y \).

Для второго слагаемого:

\( (bx — ay)(a — b) = b x \cdot a — b x \cdot b — a y \cdot a + a y \cdot b = a b x — b^2 x — a^2 y + a b y \).

В числителе стоит разность этих выражений, поэтому:

\( (a^2 x + a b y + a b x + b^2 y) — (a b x — b^2 x — a^2 y + a b y) \).

Раскрываем скобки со знаком минус:

\( a^2 x + a b y + a b x + b^2 y — a b x + b^2 x + a^2 y — a b y \).

Теперь группируем подобные члены:

— \(a b y\) и \(- a b y\) взаимно уничтожаются.

— \(a b x\) и \(- a b x\) взаимно уничтожаются.

Остаются:

\( a^2 x + b^2 y + b^2 x + a^2 y \).

Перегруппируем:

\( a^2 x + a^2 y + b^2 x + b^2 y = a^2 (x + y) + b^2 (x + y) \).

Факторизуем общий множитель \((x + y)\):

\( (x + y)(a^2 + b^2) \).

Подставляем обратно в числитель:

\( \frac{(x + y)(a^2 + b^2)}{(a — b)(a + b)(x + y)} \).

Знаменатель можно упростить, так как \((a — b)(a + b) = a^2 — b^2\), и сокращаем \((x + y)\) в числителе и знаменателе, если \(x + y \neq 0\), получаем:

\( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \).

Таким образом, исходное выражение равно \( \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2} \), что совпадает с правой частью исходного равенства. Следовательно, равенство верно.