ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 237 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

Упростите выражение:
a) \(\frac{1}{a(a — b)(a — c)} + \frac{1}{b(b — c)(b — a)} + \frac{1}{c(c — a)(c — b)}\);
б) \(\frac{x^2}{(x — y)(x — z)} + \frac{y^2}{(y — x)(y — z)} + \frac{z^2}{(z — x)(z — y)}\).

а) \( \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} = \)
\( = \frac{1}{a(a-b)(a-c)} — \frac{1}{b(b-c)(a-b)} + \frac{1}{c(a-c)(b-c)} = \)
\( = \frac{bc(b-c) — ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \)
\( = \frac{b^2c — bc^2 — a^2c + ac^2 + a^2b — ab^2}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \)
\( = \frac{b^2(c-a) — b(c^2 — a^2) + ac(c-a)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(c-a)(b^2 — bc + a c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \)
\( = \frac{(c-a)(b^2 — bc — ab + ac)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{(c-a)(b^2 — bc — ab + ac)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \)
\( = \frac{(c-a)(b^2 — bc — ab + ac)}{-abc(a-b)(c-a)(b-c)} = \frac{b^2 — bc — ab + ac}{-abc(a-b)(b-c)} = \)
\( = \frac{b(b-c) — a(b-c)}{-abc(a-b)(b-c)} = \frac{(b-c)(b-a)}{-abc(a-b)(b-c)} = \frac{-(a-b)}{-abc(a-b)} = \frac{1}{abc} \).

б) \( \frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)} = \)
\( = \frac{x^2(y-z) — y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \)
\( = \frac{x^2 y — x^2 z — y^2 x + y^2 z + z^2 x — z^2 y}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \)
\( = \frac{xy(x-y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x-y)}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \)
\( = \frac{(x-y)(xy — z(x+y) + z^2)}{(x-y)(x-z)(y-z)} = \frac{xy — zx — zy + z^2}{(x-z)(y-z)} = \)
\( = \frac{x(y-z) — z(y-z)}{(x-z)(y-z)} = \frac{(x-z)(y-z)}{(x-z)(y-z)} = 1 \).

а) Начинаем с суммы трёх дробей, знаменатели которых содержат произведения разностей переменных:
\( \frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} \).
Для удобства перепишем вторую дробь, учитывая, что \(b-a = -(a-b)\), и приведём все дроби к общему знаменателю \(abc(a-b)(a-c)(b-c)\). При этом знаменатели каждой дроби умножаются так, чтобы получить общий знаменатель, а числители домножаются соответствующими множителями для сохранения равенства.

Далее, приводим числители к общему знаменателю:
\( bc(b-c) — ac(a-c) + ab(a-b) \).
Раскрываем скобки и группируем подобные члены, обращая внимание на знаки и порядок умножения степеней:
\( b^2 c — b c^2 — a^2 c + a c^2 + a^2 b — a b^2 \).
Затем группируем члены по переменным, выделяя общие множители:
\( b^2(c — a) — b(c^2 — a^2) + a c(c — a) \).
Обращаем внимание, что \( c^2 — a^2 = (c — a)(c + a) \), что позволяет упростить выражение.

После этого выделяем общий множитель \( (c — a) \) в числителе, получая:
\( (c — a)(b^2 — b c + a c) \).
Подставляем это обратно в дробь:
\( \frac{(c — a)(b^2 — b c + a c)}{abc(a — b)(a — c)(b — c)} \).
В знаменателе также можно заметить, что \( (a — c) = -(c — a) \), что позволяет сократить множитель \( (c — a) \) с противоположным знаком. После сокращения и перестановки множителей получаем выражение:
\( \frac{b^2 — b c + a c}{-abc(a — b)(b — c)} \).

Далее, раскладываем числитель:
\( b^2 — b c + a c = b(b — c) + a c \),
и преобразуем его с учётом знаменателя:
\( \frac{b(b-c) — a(b-c)}{-abc(a-b)(b-c)} = \frac{(b-c)(b — a)}{-abc(a-b)(b-c)} \).
Сокращая \( (b-c) \) и учитывая знак, получаем:
\( \frac{-(a-b)}{-abc(a-b)} = \frac{1}{abc} \).

б) Рассмотрим сумму трёх дробей с квадратами в числителях и произведениями разностей в знаменателях:
\( \frac{x^2}{(x — y)(x — z)} + \frac{y^2}{(y — x)(y — z)} + \frac{z^2}{(z — x)(z — y)} \).
Для приведения к общему знаменателю умножаем каждую дробь на недостающие множители, получая общий знаменатель \( (x — y)(x — z)(y — z) \).

Объединяем числители, учитывая знаки и порядок:
\( x^2(y — z) — y^2(x — z) + z^2(x — y) \).
Раскрываем скобки и упрощаем:
\( x^2 y — x^2 z — y^2 x + y^2 z + z^2 x — z^2 y \).
Группируем члены по переменным для удобства:
\( xy(x — y) — z(x^2 — y^2) + z^2(x — y) \).
Обращаем внимание, что \( x^2 — y^2 = (x — y)(x + y) \), что позволяет упростить выражение.

Выносим общий множитель \( (x — y) \) в числителе:
\( (x — y)(xy — z(x + y) + z^2) \).
Подставляем обратно в дробь:
\( \frac{(x — y)(xy — z(x + y) + z^2)}{(x — y)(x — z)(y — z)} \).
Сокращаем \( (x — y) \), получая:
\( \frac{xy — z(x + y) + z^2}{(x — z)(y — z)} \).

Далее раскрываем числитель:
\( xy — zx — zy + z^2 = x(y — z) — z(y — z) = (x — z)(y — z) \).
Подставляем это в дробь:
\( \frac{(x — z)(y — z)}{(x — z)(y — z)} = 1 \).