ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 239 Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова — Подробные Ответы

При каком значении \(a\) тождественно равны выражения:
a) \(\frac{2x}{x+3} + 2 + \frac{a}{x+3}\) и \(\frac{2x}{x+3} + a\);
б) \(\frac{x}{x-5}\) и \(1 + \frac{a}{x-5}\);
в) \(\frac{2x}{3-x}\) и \(\frac{a}{3-x} — 2\);
г) \(\frac{x+2}{5-x}\) и \(\frac{a}{5-x} — 1\).

а) \(\frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3}\)
\(\frac{2x}{x+3} = \frac{2(x+3) + a}{x+3}\)
\(\frac{2x}{x+3} = \frac{2x + 6 + a}{x+3}\)
\(\frac{2x}{x+3} = \frac{2x}{x+3} + \frac{6 + a}{x+3}\)
\(6 + a = 0\)
\(a = -6.\)

б) \(\frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5}\)
\(\frac{x}{x-5} = \frac{x-5 + a}{x-5}\)
\(\frac{x}{x-5} = \frac{x}{x-5} + \frac{-5 + a}{x-5}\)
\(-5 + a = 0\)
\(a = 5.\)

в) \(\frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} — 2\)
\(\frac{2x}{3-x} = \frac{a — 2(3-x)}{3-x}\)
\(\frac{2x}{3-x} = \frac{a — 6 + 2x}{3-x}\)
\(\frac{2x}{3-x} = \frac{a — 6}{3-x} + \frac{2x}{3-x}\)
\(a — 6 = 0\)
\(a = 6.\)

г) \(\frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} — 1\)
\(\frac{x+2}{5-x} = \frac{a — (5-x)}{5-x}\)
\(\frac{x+2}{5-x} = \frac{a — 5 + x}{5-x}\)
\(\frac{x+2}{5-x} = \frac{x+2}{5-x} + \frac{a — 7}{5-x}\)
\(a — 7 = 0\)
\(a = 7.\)

а) Начинаем с уравнения \(\frac{2x}{x+3} = 2 + \frac{a}{x+3}\). Чтобы упростить работу с дробями, приводим правую часть к общему знаменателю \(x+3\). Для этого число 2 переписываем как дробь \(\frac{2(x+3)}{x+3}\), что равносильно \(2\) при любом \(x \neq -3\). Тогда правая часть становится \(\frac{2(x+3) + a}{x+3}\), то есть \(\frac{2x + 6 + a}{x+3}\).

Сравниваем теперь левую и правую части: \(\frac{2x}{x+3} = \frac{2x + 6 + a}{x+3}\). Поскольку знаменатели равны и не равны нулю при \(x \neq -3\), равенство дробей возможно, если равны числители. Значит, \(2x = 2x + 6 + a\). Вычитаем \(2x\) с обеих сторон, получаем \(0 = 6 + a\), откуда \(a = -6\).

б) Рассмотрим уравнение \(\frac{x}{x-5} = 1 + \frac{a}{x-5}\). Аналогично первому пункту, приводим правую часть к общему знаменателю \(x-5\). Число 1 представляем как \(\frac{x-5}{x-5}\), тогда правая часть равна \(\frac{x-5 + a}{x-5}\). Приравниваем дроби: \(\frac{x}{x-5} = \frac{x-5 + a}{x-5}\). При равенстве дробей с одинаковыми знаменателями равны числители: \(x = x — 5 + a\). Вычитаем \(x\) с обеих сторон: \(0 = -5 + a\), значит \(a = 5\).

в) Уравнение \(\frac{2x}{3-x} = \frac{a}{3-x} — 2\) содержит дробь и число. Чтобы привести правую часть к одной дроби, число \(-2\) перепишем как \(\frac{-2(3-x)}{3-x}\), что равно \(-2\) при \(x \neq 3\). Тогда правая часть становится \(\frac{a — 2(3-x)}{3-x} = \frac{a — 6 + 2x}{3-x}\). Теперь уравнение принимает вид \(\frac{2x}{3-x} = \frac{a — 6 + 2x}{3-x}\).

Поскольку знаменатели равны и не равны нулю при \(x \neq 3\), равенство дробей возможно, если равны числители: \(2x = a — 6 + 2x\). Вычитаем \(2x\) с обеих сторон, получаем \(0 = a — 6\), откуда \(a = 6\).

г) Рассмотрим уравнение \(\frac{x+2}{5-x} = \frac{a}{5-x} — 1\). Приведём правую часть к общему знаменателю \(5-x\). Число \(-1\) переписываем как \(\frac{-(5-x)}{5-x}\), что равно \(-1\) при \(x \neq 5\). Тогда правая часть становится \(\frac{a — (5-x)}{5-x} = \frac{a — 5 + x}{5-x}\).

Теперь уравнение выглядит как \(\frac{x+2}{5-x} = \frac{a — 5 + x}{5-x}\). При равенстве дробей с одинаковыми знаменателями равны числители: \(x + 2 = a — 5 + x\). Вычитаем \(x\) с обеих сторон: \(2 = a — 5\), значит \(a = 7\).